Hey Nina,

ich denke die Frage zielt darauf ab, eine wichtige Eigenschaft des Erwartungswertes, nämlich die Linearität zu betrachten.

Wenn M die Zufallsvariable ist, die die Treffer von Mike zählt und W die Zufallvariable, die die Treffer von Wim zählt (beide Zufallsvariablen sind übrigens Bernoulli-verteilt mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten), dann interessieren wir uns ja in (b) für die Zufallsvariable X = M + W.

Der Erwartungswert einer Bernoulli-verteilten Zufallsvariable ist gerade \( p \). Sonja überlegt sich nun, dass der Erwartungswert der Summe X, also von der Summe von M und W gleich der Summe der einzelnen Erwartungswerte von M und W ist. Deshalb sagt sie ja \( E(X) = 0,4 + 0,7 = 1,1 \)

Du sollst die Aussage nun überprüfen und musst dafür den Erwartungswert der gemeinsamen Treffer berechnen. Du hast ja in (a) schön die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Treffer berechnet. Nun gilt also

\( E(X) = 0,18 \cdot 0  + 0,54 \cdot 1 + 0,28 \cdot 2 = 0 + 0,54 + 0,56 = 1,1 \)

Damit passt diese Vermutung schon einmal.

(c) ist nun also die Verallgemeinerung von dem eben betrachteten Zusammenhang auf beliebige Trefferwahrscheinlichkeiten und 3 Spieler. Haben wir also 3 Spieler \( A, B, C \) mit jeweiligen Trefferwahrscheinlichkeiten \( p_A, p_B, p_C \).

Gemäß der Behauptung von Sonja aus Aufgabe (b) wäre also der Erwartungswert der gemeinsamen Treffer der 3 Spieler: \( p_A + p_B + p_C \).

(d) Diesen Zusammenhang aus (c) sollst du nun rechnerisch überprüfen. Analog zu (a) und (b) kannst du dir nun also Trefferwahrscheinlichkeiten für die 3 Spieler überlegen, also du legst Werte für \( p_A, p_B, p_C \) fest. Anschließend rechnest du wie in A die Wahrscheinlichkeiten für 0, 1, 2 und 3 Treffer aus und berechnest damit dann wie in (b) den Erwartungswert, um zu zeigen, dass auch hier die Vermutung aus (c) bestätigt werden kann.