Du versuchst ja eine Folge \((a_k)_{k\in \mathbb{N}}\) zu finden, für die n. Ableitung von \(f(x)\), damit du das dann für eine Taylor-Reihe benutzen kannst.

Schauen wir uns einmal die ersten Ableitungen an:

\(f(x)=(x+1)^{\frac{1}{2}}\)

\(f'(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^{\frac{1}{2}-1}\)

\(f''(x)=(-1)\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}(x+1)^{\frac{1}{2}-1-1}\)

\(f''(x)=(-1)\cdot (-1)\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{2}(x+1)^{\frac{1}{2}-1-1-1}\)

\(f'''(x)=(-1)\cdot(-1)\cdot (-1)\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{5}{2}(x+1)^{\frac{1}{2}-1-1-1-1}\)

Veruschen wir das nun als Folge \((a_k)\) auszudrücken, musst du nur schauen, wie sich die Ableitung mit jeder weiteren Ordnung ändert. Das Vorzeichen wechselt und ist für jede gerade Ordnung der Ableitung negativ. Der Nenner wird immer um den Faktor \(2\) größer. Der Zähler multipliziert fortlaufend mit allen ungeraden Zahlen. Der Exponent wird immer um \(1\) kleiner.

Schaffst du es nun, dir daraus eine Folge zu basteln?