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Lass uns an die Definition des $\delta_{n,0}$ kurz erinnern:
$$ \delta_{n,0}=\begin{cases}1 \; n=0 \\ 0 \; \text{sonst}\end{cases} $$
Und hier bemerke ich, das ein Fehler in der Aufgabenstellung ist. Entweder man summiert von $l=1$ bis $N$ und schreibt $\delta_{n,N}$ ODER man summiert von $l=0$ bis $N-1$ und behält das $\delta_{n,0}$. Der Wert $n=0$ ist nämlich gar nicht zulässig nach Aufgabenstellug. Sicherlich ist dieser Schulstoff Fehler niemanden entgangen!
Mit $x_n=na$ und $q_l= \frac{2 \pi l}{L}$ folgt
$$\frac{1}{N} \sum_{l=0}^{N-1} e^{i \frac{2 \pi l}{L}na}=\frac{1}{N} \sum_{l=0}^{N-1} \big( e^{2\pi i \frac{n a}{L} } \big)^l$$
Jetzt müssen wir eine Fallunterscheidung machen:
Für $n \neq 0$, greift die geometrische Summenformel für $z \in \mathbb{C}$ mit $z \neq 1$
$$\sum_{l=0}^{N-1} z^l= \frac{1-z^{N}}{1-z}.$$
Mit $z=e^{2\pi i \frac{n a}{L}} \neq 1$ folgt daraus
$$ \sum_{l=0}^{N-1} z^l= \frac{1-e^{2\pi i \frac{N n a}{L} }}{1-e^{2\pi i \frac{n a}{L} }}.$$
Aber auch hier sehen wir, dass der Zähler wegen $L=Na$ und $n \in \mathbb{N}$ gleich $0$ ist. Analog funktioniert das für den verschobenen Index, pass aber - wie gesagt - auf die Indizes bei der geometrischen Summenformel auf.
Vollziehe das erstmal in Ruhe nach und dann versuch dich an den anderen, schwereren Aufgabenteilen. Du brauchst hier für Rest des ersten Teils nur Kenntnisse von komplexen Zahlen und wie du Summen manipulierst.
Punkte: 462
Ich kann noch nicht nachvollziehen dass bei n=0 e^(2pi i × 1) = 0 ist. ─ user959f66 29.04.2024 um 11:02
$$\sum_{l=0}^N q^l=1+\sum_{l=0}^{N-1} q^l=1+ \frac{1-q^N}{1-q}=1$$
und somit summierst du $1=\exp(2\pi i \frac{0}{N})$ und $1=\exp(2\pi i \frac{N}{N})$ doppelt. Du kannst dich jetzt entscheiden: Willst du den term $q^0$ oder $q^N$ nicht mit reinnehmen, da sonst die Summe sonst IMMER 1 ist. Mit Normierungsfaktor aus der Aufgabenstellung sogar $\frac{1}{N}$. ─ crystalmath 29.04.2024 um 12:08
Nochmal für den Frager:
1. ganz oben (zweite Zeile) sollte $n=0,...,N$ stehen.
2. hinter (6) sollte stehen "für $n=0,...,N-1$".
─ mikn 29.04.2024 um 13:04
Trotzdem ein Versuch (wenn das klappt, gerne weitere Hilfe): Zuerst sollst Du Gleichung (6) mithilfe (4) nachweisen. Dazu rechnet man am besten von der komplizierteren Seite los. Auf geht's.
Lade dann Deine Rechnung bzw. Versuch dazu hier hoch (oben "Frage bearbeiten"). ─ mikn 28.04.2024 um 16:54