Die Matrix D muss so gewählt sein, dass \(\varphi(X)=D\cdot X\) gilt für alle \(X\in V\). Der Raum \(V=R^{2\times 2}\) ist strukturell das gleiche wie \(R^4\) ("isomorph"), man kann z.B. von jedem Element aus V die 4 Matrix-Elemente einfach untereinander schreiben. Mit dieser Idee kannst Du Dir eine Basis von V bauen. Und in D stehen in jeder Spalte die Bilder der Basisvektoren, also die \(\varphi\)-Werte der gewählten Basis aus V.
Fang mal an mit einer Basis von V, wie würde die also aussehen? Immer auf die Objekte achten, hier Matrizen.