Üblicherweise schreibt man (solange die Ausdrücke nicht zu kompliziert werden) lieber Brüche als negative Exponenten, also eher \(\frac1ax^2\), weil das etwas übersichtlicher ist: Man sieht sofort, dass durch das \(a\) geteilt wird und man muss nicht irgendwelche Exponenten lesen.
Allerdings ist das keine Regel, sondern eine gängige Präferenz, und es gibt sicher auch Menschen, die dir Anderes erzählen würden. Und wenn es einen guten Grund gibt, keinen Bruch, sondern negative Exponenten zu schreiben, dann sollte man das natürlich auf jeden Fall tun. In großen Ausdrücken kann das z.B. hilfreich sein; oder bei deinem Beispiel \(ax^{-2}\), damit man die Regel für \(x^r\) zur Bestimmung der Stammfunktion anwenden kann.
Grundsätzlich also: Da beides das gleiche bedeutet, kannst du es so schreiben, wie du willst. Nimm das, was besser in die Situation passt oder womit du intuitiver umgehen kannst.

Darüber kann man nur spekulieren. Du solltest Dich von der Vorstellung lösen - so Du sie hast - dass es nur eine einzige sinnvolle Schreibweise gibt. Das ist nicht so. Es gibt viele Möglichkeiten, und die sind alle ok, solange die Umformungen richtig sind.
Das Problem ist, wie bei vielen hier im Forum, sie schauen in die Lösung und fragen sich "warum gerade so und nicht anders?". Die Frage taucht aber gar nicht auf, wenn man selbst rechnet. Das Nachlesen von Lösungen hilft hier eben nicht, sondern wirft nur neue Fragen auf, die verwirren - völlig unnötigerweise.

Moin llit808.
Du hast recht, da kommt immer dasselbe heraus! Es gilt im allgemeinen: \(a^{-b}=\dfrac{1}{a^b}\). Es gibt eigentlich keine Regeln, wann du diese Schreibweise benutzen musst. Oft ist es aber beim Zusammenfassen von Potenzen sehr hilfreich. In diesem Fall wurde das vielleicht benutzt, weil du nach x integrieren sollst und eine Integration von \(x^{-2}\) vielleicht "machbarer" aussieht, als von \(\dfrac{1}{x^2}\). Das \(\dfrac{1}{a}\) wurde wahrscheinlich nicht zu \(a^{-1}\) umgeschrieben, da schließlich nach x integriert wurde und \(\dfrac{1}{a}\) somit einfach eine Konstante ist.

Grüße