Nach dem Homomorphiesatz gilt \(V/\ker f\cong im f\), also auch \(\dim(im f)=\dim(V/\ker f)\). Für den Beweis genügt es also zu zeigen, dass \(\dim(V/U)=\dim V-\dim U\) für endlich-dimensionales \(V\). Sei \(\{v_1+U,\ldots,v_n+U\}\) eine Basis von \(V/U\) und \(u_1,\ldots,u_m\) eine Basis von \(U\). Wegen \(U\cap \{v_1,\ldots,v_n\}=\emptyset\) ist \(\{v_1,\ldots,v_n,u_1,\ldots,u_m\}\) linear unabhängig, zu zeigen ist also noch, dass die Menge auch \(V\) erzeugt, dann sind wir fertig. Das ist ebenso einfach: Für \(v\in V\) sei \(v+U=\sum_{i=1}^n\lambda_iv_i+U\), dann ist \(v-\sum_{i=1}^n\lambda_iv_i\in U\), also als Linearkombination der \(u_i\) darstellbar, und daraus folgt die Behauptung.