Mache Partialbruchzerlegung, d.h. finde Parameter $A,B\in\mathbb R$, sodass $$\frac2{(n+1)(n+3)}=\frac A{n+1}+\frac B{n+3}.$$ Was entsteht, ist eine sogenannte Teleskopsumme, bei den $b_n$ kürzen sich fast alle Summanden heraus. Beweise dann mit vollständiger Induktion, dass $b_n=\frac32-\frac1{n+2}-\frac1{n+3}$ gilt, auf diesen Ausdruck kommst du eben, wenn du die Teleskopsumme aufschreibst und alles weglässt, was sich herauskürzt. Aus dieser Darstellung von $b_n$ lässt sich sofort die Konvergenz und der Grenzwert ablesen.