Ich werfe auch mal noch eine Antwort in den Raum. Es gibt ja so viele Möglichkeiten ... :-)

Gleichungssysteme mit weniger Gleichungen als Unbekannten löst man gerne auch abhängig von einem Parameter, z. B. t. Würde man x3 nicht raten, wie hier mit x3=1, sondern sagen x3= t, dann würde man zunächst etwa zur Gleichung -5t=2t kommen oder auch -7t=0. Daraus würde folgen, dass das System nur lösbar ist für t=0. Das würde direkt bedeuten, dass x3=0 ist.

Setzt man das in die vorhandenen Gleichungen ein, erhält man zwei identische Gleichungen. Man hat also nur noch eine. Nun wählt man wieder einen Parameter, z. B. r und bestimmt x2 = r. Damit kann man dann x1 auch abhängig von r bestimmen. 

Nun kennt man x1 und x2 abhängig von r und weiß, dass x3=0 ist. Und für ein beliebiges r erhält man dann einen Normalenvektor der Ebene.

Vielleicht hilft das ja auch ein wenig ... :-)

Habe dazu vor kurzem einige Videos auf youTube hochgeladen. Da wird Dein problem behandelt. Solltest Du Dir ansehen, es folgen demnächst weitere zur Analytischen Geometrie. 

Du kannst hier den Normalenvektor nicht (so einfach) über ein LGs berechnen. Denn Du hast offensichtlich dann 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten, also unendlich viele Lösungen. Was auch so sein muss, denn es gibt unendlich viele Normalenvektor. Und der Nullvektor erfüllt das LGS immer, es kann also schnell passieren, dass man den erhält und einen anderen.

Das einfachste ist, da wir im R^3 sind, das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren zu verwenden. Bei der ersten Aufgabe ist das:

\(\begin{pmatrix}2 \\6 \\ -5\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2 \\6 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}42 \\ -14 \\ 0\end{pmatrix}\)

Wer nicht gerne mit großen Zahlen rechnet, kürzt den vor dem Weiterrechnen noch durch 14 und erhält:\( \begin{pmatrix}3\\ -1 \\ 0\end{pmatrix}\)

Bei d) solltest Du auch ohne überhaupt zu rechnen sehen, was ein Normalenvektor zu den beiden Richtungsvektoren ist.

Hallo carlotta,

der Ansatz deiner Mathemathiklehrerin und den, den du machst ist ganz interessant. Deine Lösung ist dabei nicht falsch, denn der Nullvektor \( \left(\begin{matrix} 0\\0\\0 \end{matrix} \right) \) ist immer eine Lösung. Nur für dich leider nicht zielführend :D

Du willst \( n_3 \) raten. In deinem Fall kommt du mit \( n_3 =1 \) auf den Nullvektor. Versuch also eine andere Zahl. Ich würde mit der \( 0 \) beginnen.

 Dann hast du die doppelte Zeile \(  2n_1 + 6n_2 = 0 \). Was für Möglichkeiten hast du nun für \( n_1 \)  und \( n_2 \) damit die Gleichung erfüllt ist? (Kannst du wieder durch probieren lösen) Dann hast du deinen Normalenvektor. 

Für die zweite Aufgabe hast du sogar besondere Vektoren vor dir liegen. Nämlich Einheitsvektoren (Die heißen so, weil sie die Länge \( 1 \) haben). Noch genauer die Einheitsvektoren in Richtung \( x_2  \) das wäre \( \vec{b} \) und den Einheitsvektor in Richtung   \( x_3  \) das wäre  \( \vec{c} \).  Stell dir nun mal ein dreidimensionales Koordinatensytem vor. Welche Achse steht senkrecht auf der \( x_2  \)- und der \( x_3  \)-Achse...? Und genau von dieser Achse brauchst du den Richtungsvektor. Das ist dann direkt der zu berechnende Normalenvektor den du für die Ebene brauchst.

LG