Ungleichungssysteme lösen?

Aufrufe: 790     Aktiv: 26.03.2021 um 14:41
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Hallo,

mich würde interessieren wie man grundsätzlich Ungleichungssysteme löst bzw. so Optimierungssachen hinkriegt.

Beispiel:
Bei einem Fußballspiel wird eine Quote auf den Sieg von mannschaft 1 und eine von mannschaft 2 angeboten.
Wenn ich nun Geld auf Ereignis 1 und Ereignis 2 passend setzen will, sodass ich am Ende vom lied zumindest "break even" bin, also in jedem Fall ich zumindest keinen Verlust mache, wie berechne ich das Ungleichungssystem?

Und woher weiß ich ob mit den ja vorgegebenen Quoten überhaupt eine "KeiN Verlust" Situation herbeiführbar ist?

Mit naheliegenden Herleitungen bin ich auf das Ungleichungssystem

p1*K1-K2>0

p2*K2-K1>0

gekommen.

p1 und p2 sind vorgegeben und sind in jedem Fall Kommazahlen >0, (in den meisten Fällen irgendwas zwischen 0 und 4, aber das ist unwichtig)
K1 und K2 sind ebenso nicht negative Kommazahlen.

Wie bestimme ich hier Ungleichungen für K1 und K2 die das LUGS erfüllen?

Und woher weiß ich im Voraus ob  p1 und p2 ausreichend hoch sind sodass es für K1 und K2 überhaupt eine lösung geben KANN?

 

 

 

Das selbe Spiel gibt es natürlich auch mit K1-3 und p1-3 oder noch mehr Möglichkeiten.

insofern würde es mich shcon sehr interessieren wie man das so allgemein wie möglich löst :-)

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Zunächst würde ich notwendige Bedingungen herleiten, damit das System von Ungleichungen erfüllbar ist. Sei also \(K_1,K_2>0\) eine Lösung. Dann folgt aus den Ungleichungen nach Umformung \[K_2<p_1K_1\qquad\text{und}\qquad K_2>\frac{K_1}{p_2},\] also \[\frac{K_1}{p_2}<K_2<p_1K_1\qquad\text{und somit}\qquad \frac{K_1}{p_2}<p_1K_1.\] Nach Umformung ergibt die letzte Ungleichung \(p_1p_2>1\) als notwendige Bedingung. Versuche jetzt, wenn diese Bedingung erfüllt ist, die Lösungsmenge anzugeben (Tipp: sie ist nicht leer).
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Hm, ich weiß nicht, ich steh gerade voll auf dem Schlauch. Grundsätzlich hätte ich, auch einfach weil ich keinen besseren Plan habe,
wie bei einem linearen Gleichungssystem die Ursprungsungleichungen addiert. Die Richtung des Ungleichzeichens ist ja bei beiden UGs gleich, also sollte das gehen. Natürlich passend das vielfache der einen oder anderen Gleichung nutzen damit ne Variable wegfliegt.
Würde dann mit den anfänglichen
p1*K1-K2>0

p2*K2-K1>0

hingehen und einfach mal p2*UG1+1*UG2 rechnen. dann dürfte K2 rausfliegen:
p1*p2*K1-K1>0
Aber ausser dass K1>0 ist (duh) oder wir das p1*p2>1 von eben kriegen, bringt mir das gar nichts :-/


Ich habe irgendwie gerade keinen richtigen plan was ich rechnen könnte wo nicht automatisch k1 und k2 irgendwie rausfallen :-/   ─   densch 23.03.2021 um 11:44
Damit hast Du dieselbe notwendige Bedingung \(p_1p_2>1\) erhalten wie ich. Zeige jetzt, dass die Bedingung für die Lösbarkeit auch hinreichend ist, indem Du die Schritte, die ich oben gemacht habe, rückwärts gehst und \(K_1,K_2\) entsprechen wählst. Das ist die Antwort auf Deine Frage, wie man da vorgeht. Hast Du Dir ganz allgemein die Bedeutung notwendiger und hinreichender Bedingungen schon klar gemacht?   ─   slanack 23.03.2021 um 12:29
Tipp: Die Lösungsmenge besteht aus mehr als einer Lösung. Du wirst also nicht wie bei einem LGS durch Rechnen auf genau *die* Lösung kommen, sondern musst \(K_1,K_2\) richtig *wählen*.   ─   slanack 23.03.2021 um 12:31
naja, notwendig: muss zwar erfüllt sein, reicht alleine aber noch nicht aus.
hinreichend: ausreichend halt, braucht sosnt keine weiteren bedingungen.

Naja, ich kann bspw. K1=t parametrisieren und dann eben K2 davon abhängig eingrenzen:
K2 aus (t/p2,t*p1)

aber ansonsten?


kann ich zwar t=1 oder sowas eisnetzen und dann habe ich ein intervall aus dem ich mir ein k2 raussuchen kann.
Aber so richtig zufrieden stellt mich das nicht.
Hätte die lösungsmenge wenn gerne zumindest in einer hübschen parametrisierten form oder so gehabt.   ─   densch 24.03.2021 um 01:00
Hm, was ich so lese müsste man für Aufgaben dieser Art wohl den Simplex Algorithmus verwenden. Der sich nicht so schön systematisieren oder automatisieren lässt wie der Gauss :-/   ─   densch 24.03.2021 um 13:14
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Ich verstehe Dein Problem nicht ganz. Du hast die Lösungsmenge oben richtig beschrieben, damit ist die Frage doch beantwortet. Wenn \(p_1p_2>1\) gilt, dann ist die Lösungsmenge \[\{(K_1,K_2)|K_1>0,\ K_1/p_2< K_2 < p_1K_1\}.\] In der grafischen Darstellung in der \(K_1,K_2\)-Ebene ist es der Bereich zwischen zwei Strahlen durch den Ursprung, eine offene (\(2\)-dimensionale) Teilmenge des \(\mathbb{R}^2\). Sie stellt sozusagen ihre eigene Parametrisierung dar. Was will man mehr.   ─   slanack 24.03.2021 um 17:29
Naja, ich hätte es einfahc lieber gehabt, wenn die nicht so miteinander verkoppelt wären, sowas simples wie K1 aus (1,5) K2 aus (5,12) oder so :-)   ─   densch 24.03.2021 um 22:09
Hm, wie wäre dann eigentlich die Lage wenn ich 3 Ereignisse habe und daher auch K1-K3 und p1-p3 mit den Ungleichungen:
p1*K1-K2-K3>0
p2*K2-K1-K3>0
p3*K3-K1-K2>0

Dann könnte ich umstellen zu
p1*K1-K3>K2
K2>(K1+K3)/p2

Also p1*K1-K3>K2>(K1+K3)/p2

Aber was nun?
Irgendwie kann ich da nicht so einfach wie oben Alles wegbekommen sodass nur noch p1-3 vorkommen :-/

   ─   densch 24.03.2021 um 22:20
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Nimm die dritte Ungleichung auch dazu. Das liefert Dir zwei Ungleichungen, die \(K_2\) nicht mehr enthalten. Du kannst dann analog zum ersten Beispiel weiter machen und nacheinander \(K_3\) und \(K_1\) eliminieren. Das ergibt wieder eine notwendige und hinreichende Bedingung an \(p_1,p_2,p_3\) für die Lösbarkeit des Systems.   ─   slanack 25.03.2021 um 11:18
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Falls Du mit den Ergebnissen im Bezug auf Dein praktisches Problem nicht zufrieden bist, dann solltest Du wohl das Modell überdenken. Da kann ich Dir leider nicht helfen, in Modellierung bin ich nicht so gut.   ─   slanack 25.03.2021 um 11:19
So arg Modell ist das nicht mal, hat schon Praxisbezug:
geht um einen Wettenabieter und die Wette auf ein Fußballspiel.
Kann A gewinnen oder B gewinnen (oder unentschieden, was der 3 Ereignisse Fall wäre).
bietet ne quote von bspw. q1=2,5 für As sieg an. heißt, man setzt 1000 Euro drauf und wenn man gewinnt , gibt es das 2,5 fache, also 250 euro, zurück.

So gibt es halt ne Quote für jedes denkbare Ereignis.
Und ich habe halt die Methoden für profit aufgestellt:
Wenn ich K1 auf ereignis 1 wette, K2 auf ereignis 2 und K3 auf ereignis 3, dann komme ich zu den Bedingungen:
wenn 1 eintritt, ist mein profit q1*K1-K1-K2-K3 (eben mein mit q1 verfielfachter einsatz minus alle 3 einsätze)
Was sich zu (q1-1)*K1-K2-K3 vereinfacht.

analog die herleitung für die fälle dass K2 eintritt und dass K3 eintritt.
Und wenn ich eben will dass in allen Fällen ein profit >0 rauskommt, unabhängig davon ob nun letztlich ereignis 1 2 oder 3 eintritt, müssen halt alle 3 sachen >0 sein.
Daher auch die 3 ungleichungen (mit den ersetzungen p1:=qi-1 noch, einfach ums zu vereinfachen.

wüsste jetzt kein wirklich anderes modell das man für das ansetzen könnte als die erwähnten ungleichungen   ─   densch 26.03.2021 um 13:10
Kurz zurück zum 2er-Fall oben: Weil ich ungleichungen einfach nicht mag dafür aber Vektoren umso, will ich mir die Lösungsmenge mal als (Teil) Ebene vom K2 hinschreiben:
Lösungsmenge war ja {(K1,K2)|K1>0, K1/p2Ein Strahl, der den Bereich begrenzt, war ja K2=K1/p2. und der Andere ist K2=p1*K1.
Vektoren in Richtung der Strahlen sind ja
v1=(1,1/p2) und v2=(1,p1)
zugehörige Eigenvektoren:
e1=v1/|v1|, e2=v2/|v2|

Frage: Eigentlich müste ich doch hingehen können und sagen, alle Lösungen (K1,K2) lassen sich schreiben als
(K1,K2)=a*e1+b*e2, insofern a>0 und b>0 erfüllt sind?
   ─   densch 26.03.2021 um 13:26
Ja zu deinem letzten Kommentar.

Zum vorherigen: Ich würde deine Ungleichung als Modell bezeichnen, welches versucht, die Wahrscheinlichkeiten einer realen Situation zu erfassen. Wenn die Vorhersagen des Modells nicht die in der Realität durch Experiment ermittelten Häufigkeiten widerspiegelt, dann muss man das Modell so lange anpassen, bis die Vorhersagen zufriedenstellend genau mit den Experimentellen Ergebnissen übereinstimmen. Zu deinem konkreten Modell möchte ich nichts sagen. Vielleicht hat ja jemand anders mehr Übung darin, das zu bewerten.   ─   slanack 26.03.2021 um 14:41

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