Verständnisproblem bei Aufgabe zu linearen Abbildungen

Erste Frage Aufrufe: 384     Aktiv: 09.11.2020 um 20:48
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Guten Abend,

Ich habe bereits gezeigt, dass es sich bei folgender Abbildung um eine lineare Abbildung handelt, soll jetzt zusätzlich aber noch bestimmen, ob \(\left( \begin{array}{c} 4 \\\ 2 \end{array}\right)\) ∈ Im(T) ist.

Habe ganz ehrlich nicht wirklich eine Ahnung wie man da ansetzt. Würde mich dementsprechend über einen Ansatz (nicht über eine Lösung) freuen, danke!

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Hallo,

du musst einfach versuchen, einen Vektor zu finden, der auf \(\binom 42\) abgebildet wird. Setze dazu

\(T\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{x+2y+z}\\{y+z}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) Dadurch ergibt sich ein lineares Gleichungssystem

$$x+2y+z=4\\y+z=2$$ Dieses kannst du lösen, wenn es eine Lösung gibt, hast du gezeigt, dass der Vektor im Bild liegt. (Theoretisch ist es hier sogar recht einfach, eine Lösung zu "erraten", aber das muss natürlich nicht sein.)

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Vielen Dank für die Antwort. Offensichtlich wird das Gleichungssystem bei x,y,z = 1 gelöst, was aber die eigentliche Ursache meiner Verwirrung war, war das (4,2) ∈ Im(T). Was hat der Imaginärteil hier verloren?   ─   braunkohle 09.11.2020 um 20:38
Das erklärt natürlich einiges. Danke dir!   ─   braunkohle 09.11.2020 um 20:48

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