Auflösungsfunktion einer impliziten Funktion

Aufrufe: 440     Aktiv: 18.08.2022 um 16:48
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Aufgabenstellung
Gegeben sei die Funktion $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x,y)=x^2+y+\cos{xy}$. Wir betrachten die Gleichung $f(x,y)=1$ und die spezielle Lösung $(x_0,y_0)=(0,0)$.
  1. Zeigen Sie, dass die Gleichung nahe $(x_0,y_0)$ lokal nach $y$ lösbar ist. (hier habe ich den Tipp bekommen den Satz über implizite Funktionen zu nutzen)
  2. Geben Sie für die lokale Auflösungsfunktion das Taylorpolynom 1. Ordnung im Entwicklungspunkt $0$ an.
Aktueller Stand
$f(\vec{a})=0 \longrightarrow f\left(x_{0}, y_{0}\right) \overset{!}{=}1 \\
\Longleftrightarrow f(0,0)=0^{2}+0+\cos (0 \cdot 0)=\cos (0)=1$

$\frac{\partial f}{\partial y}(\vec{a}) \neq 0 \longrightarrow \frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \stackrel{!}{\neq} 0 \\
\Longleftrightarrow f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=1-\sin \left(x_{0}, y_{0}\right) \cdot x_{0} \overset{!}{\neq} 0 \Longleftrightarrow f_y(0,0)=1 \neq 0$

Das wäre jetzt meine Antwort für Aufgabenteil 1. Also die Bedingung des Satzes über implizite Funktionen. Meine erste Frage wäre echt ob das soweit richtig ist.

Meine zweite wie ich zu der besagten Auflösungsfunktion komme. Das Taylorpolynom sollte dann ja relativ einfach sein. Ich kann mir da leider auch recht wenig drunter vorstellen. Muss man die "spezielle Lösung" auf eine bestimmte Art und weise nutzen?
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1 Antwort
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Soweit richtig. Sei die gesuchte Funktion $y=g(x)$. Schreib das gesuchte TP allgemein für $g$ hin. $g(0)$ kennst du. Um an $g'(0)$ zu kommen setze $y=g(x)$ in die implizite Gleichung ein und leite ab.
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TP?   ─   user89b235 18.08.2022 um 14:05
Ahhh. Also ist die Auflösungsfunktion das entsprechende TP. Das Wörtchen "für" macht da viel aus ups. Danke für die Hilfe.   ─   user89b235 18.08.2022 um 14:26
Dann steh ich wieder auf dem Schlauch. Was genau ist denn dann das $y=\mathbf{g(x)}$? Muss ich $x^2+y+cos(xy)=1$ nach $y$ auflösen um die Auflösungsfunktion zu bekommen?   ─   user89b235 18.08.2022 um 15:01
mikn hat doch schon alles gesagt: setzte \(f(x,g(x))=1\) und leite ab. Dann erhältst du g'(0), was du für das Taylorpolynom brauchst   ─   fix 18.08.2022 um 15:43
Jetzt hab ich $2x+g_x(x)-\sin(x\cdot g(x)) \cdot (g(x) + x \cdot g_x(x)) = 0$. Wie bekomme ich damit jetzt $g_x(0)$?   ─   user89b235 18.08.2022 um 16:30

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.