Deine Funktion ist 

\(f(x)=2x^2-1\)

Damit ist

\(f(x_0)=2x_0^2-1\)

und

\(f(x_0+h)=2(x_0+h)^2-1\)

Jetzt setzt du in den Differenzenquotienten ein:

\(m_s=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0}=\dfrac{2(x_0+h)^2-1-(2x_0^2-1)}{h}\)

Wir lösen hinten die Klammer auf

\(m_s=\dfrac{2(x_0+h)^2-1-2x_0^2+1}{h}\)

Es gilt \(-1+1=0\)

\(m_s=\dfrac{2(x_0+h)^2-2x_0^2}{h}\)

Die linke Klammer lösen wir mit der ersten binomischen Formel. Klammer nicht vergessen.

\(m_s=\dfrac{2(x_0^2+2x_0h+h^2)-2x_0^2}{h}\)

Wir multiplizieren die Klammer aus, indem wir jeden Summanden mit \(2\) multiplizieren:

\(m_s=\dfrac{2x_0^2+4x_0h+2h^2-2x_0^2}{h}\)

Hier fällst wieder was weg, denn

\(2x_0^2-2x_0^2=0\)

Du bekommst

\(m_s=\dfrac{4x_0h+2h^2}{h}\)

Hier kannst du \(h\) ausklammern.

\(m_s=\dfrac{h(4x_0+2h)}{h}\)

Es kürzt sich \(h\)

\(m_s=4x_0+2h\)

Jetzt sind wir bereit für die Grenzwertbildung. Der Differentialquotient gibt dir die Tangentensteigung:

\(m_t=\lim\limits_{h\to 0}m_s=\lim\limits_{h\to 0}(4x_0+2h)=4x_0+2\cdot 0=4x_0\)

Deine Ableitungsfunktion ist also

\(f'(x)=4x\)

Bei 17 habt ihr doch sicher den Differentialquotient mit z.B. der h-Methode behandelt.

Du stellst die Sekantensteigung als Differenzenquotient auf mit

\(m_s=\dfrac{f(x_0 +h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0}\)

Dann setzt du in \(f\) ein, verinfachst und formst um sodass sich in der regel das \(h\) im Nenner kürzt, dann bildest du den Grenzwert

\(m_t=\lim\limits_{h\to 0}m_s\)

Bei 18 musst du nur genau das machen was dort steht. Bilde jeweils die Ableitung, gegebenenfalls mit den Ableitungsregeln.

Dann siehst du das jeweils hinten die Konstante wegfällt, sodass sich die selbe Ableitungsfunktion ergibt.

Auch am Graphen siehst du das: Die Steigung ist unabhängig davon, wie die Funktion entlang der \(y\) Achse verschoben ist.

Damit hast du auch deine verallgemeinerung: Beim Ableiten fällt die Konstante hinten immer weg.

Bei 19

Musst du alle Ableitungsregeln anwenden.

Bei 20

Musst du jeweils die Ableitungsfunktion bestimmen und dann mit \(m\) gleichsetzen um dann nach \(x\) auzulösen.

Wenn du konkrete Fragen(Probleme hast kann ich dir auch was vorrechnen.

Schreibe es um zu (2x^2 +1) ^-1/2

dann holst du den Exponenten als Faktor vor und schreibst den Inhalt der Klammer normal hin, reduzierst den Exponenten um 1 und multiplizierst nochmal mit der Ableitung der inneren Funktion -->2* 2x 

es ergibt sich also -1/2 * 2* *2 x * ( 2x^2+ 1) ^-3/2 

also -2x * (2x ^2+1)^-3/2