Hey!

Im ersten Schritt wurde einfach das Integrationsintervall verschoben. Das ist kein Problem, wenn es sich um eine periodische Funktion handelt, weil du dann wenn du ein Intervall der Periodenlänge verschiebst quasi "genau das selbe wieder vorn dazu nimmst, was hinten rausfällt". So kommen wir von \( [0, 2\pi ] \) auf \( [- \pi, \pi ] \).

Man sieht zwar nicht alles von der Aufgabenstellung bei dir, ich schätze aber dass \( f(x) \) es eine periodische fortgesetzte Funktion sein soll, da das (a) so üblich ist und (b) diesen Schritt erklärt.

EDIT: du hast die Funktion ergänzt, sie ist nur auf einem endlichen Intervall definiert. Das heißt wir können sie für die Bildung der Fourierreihe periodisch fortsetzen! Dann können wir diese nämlich mit deren Koeffizienten so ausrechnen wie du es für die Fourierreihe definiert hast auf \( [0,2 \pi] \) und erhalten eine Fourierreihe für die periodische Fortsetzung, die natürlich auch in unserem ursprünglichen Intervall die richtige Approximation gibt.

In der zweiten Umformung wurde festgestellt, dass die Fläche unter \( \vert x \vert \) gleich groß ist für die Intervalle \( [ -\pi, 0 ] \) und \( [0, \pi ] \). Das kannst du dir mit einer Skizze der Funktion leicht überlegen! Die Funktion \( \vert x\vert \) ist achsensymmetrisch zu \( x=0 \). Deswegen können wir auch einfach zweimal über das zweite Intervall integrieren und es fallen gleich noch die Betragsstriche weg, weil wir uns im nichtnegativen Bereich aufhalten!

In der zweiten Zeile wurden einfach beide Schritte auf einmal gemacht, weil es ja oben etwas ausführlicher schon einmal gemacht wurde. Wobei man hier noch die Symmetrie von Cosinus für die Argumentation braucht.

Falls dir das noch nicht klar ist frag gerne nach! Bitte nächstes Mal ein Foto mit der vollständigen Aufgabe, dann kann man leichter helfen.

Viele Grüße und einen schönen Tag! Jojoliese