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Soweit würde ich nicht gehen hören tue ich es trotzdem gerne :p
Wenn ich das richtig sehe hast du im oberen Teil:
\( w-z = a-b \)
\( w-z = d-c \)
Das stimmt soweit schon mal.
Daraus bestimmen wir für welche a,b,c und d das ganze lösbar ist oder eben nicht. Wenn wir von der ersten Gleichung die zweite subtrahieren kommen wir auf
\( 0= a-b-(d-c)= a-b+c-d \)
Das ist unsere Einschränkung. Die Möglichkeit nur eine einzige Lösung gibt es nicht. Es gibt entweder unendlich viele Lösungen oder eben keine.
Keine Lösung haben wir zum Beispiel bei \( a=1,b=2,c=3,d=4\) da \( 1-2+3-4=-2 \neq 0 \)
\(a-b+c-d =0 \) muss erfüllt sein.
Nehmen wir an a,b,c und d erfüllen diese Gleichung.
Dann müssen wir wieder eine der Variablen w,x,y und z frei wählen. Das entsteht nicht durch umstellen einer Gleichung. Nehmen wir wieder
\( w=t \)
Daraus folgt durch einsetzen von \( w=t \) in die erste und vierte Gleichung sofort
\( x +t = a \Rightarrow x= a-t \)
\( y+ t = d \Rightarrow y = d-t \)
Bis hierhin hast du das richtig gemacht. Nur der Wert für z stimmt nicht ganz, denn
\( z + y = z +d - t = c \Rightarrow z = (c-d) + t \)
Jetzt musst du nur noch den Lösungsvektor aufstellen.
\( \begin{bmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t \\ a-t \\ d-t \\ (c-d)+t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ a\\ d\\ (c-d) \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)
Du warst also fast fertig ;)
Alles verständlich?
Zur Probe kannst du die Zahlen aus dem ersten Teil für a,b,c und d einsetzen. Es muss die Lösung aus dem ersten Teil herauskommen. :)
Grüße Christian