Positive Definitheit und lokale Extrema

Aufrufe: 609     Aktiv: 11.12.2020 um 23:21
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Hallo, wir sollen diese Aussage beweisen oder widerlegen. 

Ich hätte erstmal gesagt, da nicht das notwendige Kriterium untersucht wird, kann solch eine Aussage nicht behauptet werden. Bin mir aber unsicher. Ich bitte um Hilfe. 

Vielen Dank.  

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Punkte: 61

 
Ja ich richtig, das notwendige Kriterium zu betrachten wäre hier falsch.

Aber ich wüsste ehrlich gesagt trotzdem nicht, wie ich diese Implikation beweisen soll.
Bis jetzt scheint es mir, als müsste so eine Funktion konstant sein.
Aber weiter komm ich nicht   ─   helene20 11.12.2020 um 21:08
Okey, dann steht ja < gradient(f),delta x > + 1/2*(delta x transponiert)*Hessematrix* delta x > 0
Und wenn H positiv definit ist, dann ist (delta x transponiert)*Hessematrix* delta x > 0 und damit bleibt
< gradient(f), delta x > > 0 zu zeigen. Muss das >0 sein wenn die Hessematrix positiv definit ist?   ─   helene20 11.12.2020 um 22:21
Okey danke. Kann ich nicht einfach die Aussage widerlegen, in dem ich sage, dass an diese Stelle die notwenige Bedingung nicht vorausgesetz wird, weshalb nicht zwingend eine lokale Extremstelle vorliegt. Oder muss man mathematisch explizit ein Gegenbeispiel zeigen.   ─   helene20 11.12.2020 um 22:38
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Die Behauptung ist falsch. Es reicht also, ein Gegenbeispiel anzugeben.

Du brauchst eine Funktion \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \), deren Hessematrix positiv definit ist und die kein lokales Minimum hat.

Die notwendige Bedingung kann dir helfen: Wenn die Jacobi-Matrix von \( f \) nirgends Null wird, dann kann \( f \) kein lokales Extremum besitzen, insbesondere also auch kein Minimum.

Versuche also eine Funktion \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \) zu finden, deren Jacobi-Matrix nirgends Null wird und deren Hessematrix positiv definit ist. Dann hast du die Aussage widerlegt.

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Student, Punkte: 7.02K

 
Meinen Sie mit Jacobi Matrix den Gradienten? Der Begriff ist mir fremd   ─   helene20 11.12.2020 um 22:24
Ja genau. Für Funktionen von \( \mathbb{R}^n \) nach \( \mathbb{R} \) sind die Jacobi-Matrix und der Gradient im Prinzip das gleiche. Also ersetze in meiner Antwort gedanklich einfach überall die Jacobi-Matrix durch den Gradienten.   ─   42 11.12.2020 um 22:27
Ich habe tatsächlich erstmal versucht so eine Funktion zu finden, aber ich kann mir allgemein gedanklich keine solche Funktion vorstellen. Wie kann zum Beispiel so eine Funktion aussehen, die für alle x eine positive Hesse Matrix besitzt ?   ─   helene20 11.12.2020 um 22:31
Ne leider noch nicht, aber ich weiß wie die Krümmung einer konvexen Funktion aussieht. Hmm mir fehlt einfach die Intuition was es graphisch heißt, wenn die Hesse Matrix immer positiv ist.   ─   helene20 11.12.2020 um 22:48
Also wenn die Exponentialfunktion als eine strikt konvexe Funktion gilt, dann wäre das ein Beispiel   ─   helene20 11.12.2020 um 22:58
Wäre (e^x)+(e^y)+(e^z) eine mögliche Funktion?   ─   helene20 11.12.2020 um 23:04
Ja das macht Sinn, danke danke. Ohne diese Denkhilfen wäre ich nicht drauf gekommen danke nochmal!   ─   helene20 11.12.2020 um 23:21

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