Das sieht soweit gut aus! :)
Um die pq-Formel zu verwenden, muss der Vorfaktor von x² 1 sein, deine Vermutung mit der Division von 10 ist also richtig.

Üblich/Man kann einfach unter der 2x² einen Pfeil machen und x = 0 ablesen (oder so wie du). Ein weiterer Pfeil unter die Klammer und man kann dort eine "Nebenrechnung" machen und die pq-Formel in Stellung bringen. Dass da vorher durch 10 dividiert werden muss, geht ganz gewöhnlich über die Randbemerkung. Meine erste Zeile unter dem Pfeil sähe also so aus:

10x² -2x - 3 = 0 |:10

(Wir setzen das gleich 0, weil das ist ja was wir über die Klammer wissen wollen)
Nun wie gewohnt rechnen. Alternativ, falls bekannt, gerne auch die abc/Mitternachtsformel verwenden. Da ist eine Division mit 10 nicht nötig.

Soweit ist dein Vorgehen/Vorschläge erst mal richtig
Übersichtlicher ist es, den Term zu ordnen (absteigende Exponenten)
Wenn du die abc Formel nicht kannst, klammere einfach die 10 mit aus.
Die Darstelllung sollte immer so sein , dass der gesamte Term repräsentiert wird, du rechnest dann aber für die jeweilige Fragestellung mit einzelnen Komponenten (Inhalt der Klammer für die Mitternachtsformel)  weiter (sollte immer erkennbar sein, was du gerade benutzt)

Das Ganze ist ein Polynom 4. Grades. Das hat höchstens 4 reelle Nullstellen.
Gut zu wissen, denn wenn man die 4 Nullis hat, braucht man nicht weiterzusuchen. 
Dein Ansatz ist erstmal gut und liefert dir schonmal 2 Nullstellen, nämlich x= 0 (doppelte Nullstelle).
Ich würde jetzt die 10 ausklammern (alles durch 10 teilen), so dass vor x^2 die 1 steht. und dann die pq - Formel anwenden.