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Hi,
eine \( \mathbb K\)-linear Abbildung \(f\colon \mathbb K \to \mathbb K\) ist immer von der Form \( f(x) =a\cdot x\) für ein \(a\in \mathbb K\). Dieses \(a\) kann man auch als \( 1\times 1\) Matrix sehen.
Eine \( \mathbb K\)-linear Abbildung \(f\colon \mathbb K \to \mathbb K^m\) wird dann beschrieben durch einen Spaltenvektor, also eine \( m\times 1\) Matrix.
Eine \( \mathbb K\)-linear Abbildung \(f\colon \mathbb K^n \to \mathbb K\) wird beschrieben durch einen Zeilenvektor, also eine \( 1\times n\) Matrix.
Die Abbildung ist dann jeweils gegeben durch Matrixmultiplikation.
(Technische Anmerkung: Man müsste hier in der Aufgabenstellung eigentlich explizit erwähnen, dass es sich um \( \mathbb K\)-linear Abbildung handelt.)
Ich hoffe das klärt deine Frage.
eine \( \mathbb K\)-linear Abbildung \(f\colon \mathbb K \to \mathbb K\) ist immer von der Form \( f(x) =a\cdot x\) für ein \(a\in \mathbb K\). Dieses \(a\) kann man auch als \( 1\times 1\) Matrix sehen.
Eine \( \mathbb K\)-linear Abbildung \(f\colon \mathbb K \to \mathbb K^m\) wird dann beschrieben durch einen Spaltenvektor, also eine \( m\times 1\) Matrix.
Eine \( \mathbb K\)-linear Abbildung \(f\colon \mathbb K^n \to \mathbb K\) wird beschrieben durch einen Zeilenvektor, also eine \( 1\times n\) Matrix.
Die Abbildung ist dann jeweils gegeben durch Matrixmultiplikation.
(Technische Anmerkung: Man müsste hier in der Aufgabenstellung eigentlich explizit erwähnen, dass es sich um \( \mathbb K\)-linear Abbildung handelt.)
Ich hoffe das klärt deine Frage.
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anonym42
Student, Punkte: 1K
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Die Abbildung \(f_1\colon \mathbb K^n \to \mathbb K\) wird durch einen Zeilenvektor mit \( n\) Einträgen dargestellt. Ein Zeilenvektor hat genau eine Zeile und in diesem Fall \(n\) Spalten, ist also von der Form
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n\end{pmatrix} .\]
Die Abbildung ist nun durch Matrizenmultiplikation gegeben, es ist also
\[ f_1( \vec v) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n\end{pmatrix} \cdot \vec v \]
In deinem Kommentar hast du Spalten und Zeilen verwechselt, da kommt man aber auch echt immer durcheinander.
Analog wird \(f_2\colon \mathbb K \to \mathbb K^m\) dargestellt durch eine Matrix der Form
\[ \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ \vdots \\ m \end{pmatrix} \]
und die Abbildung ist gegeben durch
\[ f_2(\vec v) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ \vdots \\ m \end{pmatrix} \cdot \vec v . \]
Eine Abbildung \( f_3\colon \mathbb K \to \mathbb K\) wird durch eine Matrix mit nur einem Eintrag dargestellt
\[\begin{pmatrix} a\end{pmatrix}. \]
Die Matrizenmultiplikation ist nun genau das Produkt in \(\mathbb K\) und somit ist die Abbildung \(f_3\) gegeben durch \( f_3(x) =\left( a \right) \cdot \left( x\right) =a\cdot x\). ─ anonym42 15.03.2021 um 15:37
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n\end{pmatrix} .\]
Die Abbildung ist nun durch Matrizenmultiplikation gegeben, es ist also
\[ f_1( \vec v) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n\end{pmatrix} \cdot \vec v \]
In deinem Kommentar hast du Spalten und Zeilen verwechselt, da kommt man aber auch echt immer durcheinander.
Analog wird \(f_2\colon \mathbb K \to \mathbb K^m\) dargestellt durch eine Matrix der Form
\[ \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ \vdots \\ m \end{pmatrix} \]
und die Abbildung ist gegeben durch
\[ f_2(\vec v) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ \vdots \\ m \end{pmatrix} \cdot \vec v . \]
Eine Abbildung \( f_3\colon \mathbb K \to \mathbb K\) wird durch eine Matrix mit nur einem Eintrag dargestellt
\[\begin{pmatrix} a\end{pmatrix}. \]
Die Matrizenmultiplikation ist nun genau das Produkt in \(\mathbb K\) und somit ist die Abbildung \(f_3\) gegeben durch \( f_3(x) =\left( a \right) \cdot \left( x\right) =a\cdot x\). ─ anonym42 15.03.2021 um 15:37
Und bei K -> K: Was genau bedeutet dann das x in f(x) = a*x?
Bin noch ein wenig eingerostet was lineare Algebra angeht da es schon etwas länger her ist. Ich hoffe du kannst mir wieder weiterhelfen. ─ peterneumann 15.03.2021 um 14:28