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Wenn du so vorgehst musst du erstmal aufpassen welche Größe deine Matrix hat, es muss entweder eine \(2\times 3\) oder \(3\times 2\) Matrix sein. Du hast dann Recht, dass es sich bei Kern und Bild um einen Untervektorraum handelt. Du kannst aber nicht in beiden Fällen die Standardbasis nehmen. Arbeite jetzt mit dem Rangsatz (du kannst für das Bild nur die Standardbasis nehmen, wenn du eine \(2\times 3\) Matrix mit linear unabhängigen Spaltenvektoren hast). An deiner Stelle hätte ich einfach \(\mathbb{R}^2\) und \(\mathbb{R}^3\) als UVR angegeben und dann hätte die Standardbasis auch bei beiden geklappt, man kann sich auch überlegen, dass \(\mathbb{R}^2\) ein UVR von \(\mathbb{R}^3\) ist. Wenn du mir sagst, wie deine Matrix aussieht, kann ich dir bei der Basis besser helfen, so müsste ich jetzt viele Fälle durchgehen.
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mathejean
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Eine Abbildung von \(\mathbb{R^3}\to \mathbb{R}^2\) wird immer durch eine \(2\times 3\) Matrix beschrieben, jede Spalte ist das Bild eines Basisvektors, also \(3\) Spalten wegen drei Basisvektoren von \(\mathbb{R}^3\). Es gibt allerdings \(2\) Zeilen, weil jedes Bild von diesen Basisvektoren im \(\mathbb{R}^2\) ist, also zwei Koordinaten hat. Analog brauchst du für eine Abbildung von \(\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3\) eine \(3\times 2\) Matrix.
Betrachte den Vektorraum, der von den Vektoren \((1,0,0)^t, (0,1,1)^t\) erzeugt wird, dieser ist ein 2-dimensionaler Unterhaus des \(\mathbb{R}^2\), trotzdem kann man hier keine Standardbasis wählen (rechne das ruhig nach). ─ mathejean 25.02.2022 um 16:12
Betrachte den Vektorraum, der von den Vektoren \((1,0,0)^t, (0,1,1)^t\) erzeugt wird, dieser ist ein 2-dimensionaler Unterhaus des \(\mathbb{R}^2\), trotzdem kann man hier keine Standardbasis wählen (rechne das ruhig nach). ─ mathejean 25.02.2022 um 16:12
Ich sehe gerade, dass du für die Beispiele mit zwei unterschiedlichen Abbildungen arbeiten willst, das ist dann aber sehr umständlich und auch schwierig nachvollziehbar, da dass nicht sauber gekennzeichnet wurde.
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mathejean
25.02.2022 um 16:17
Ja ich bin noch sehr unsicher in diesem Thema , daher auch die ganzen Fehler und fragen. Ich verstehe gerade nur nicht bei deinem Beispiel mit dem Unterhaus des R^2 , warum man keine standardbasis wählen kann? Ich dachte eine Basis sind die linear unabhängigen Vektoren die einen Vektorraum aufspannen(die beiden Vektoren sind ja linear unabhängig). Mit Standardbasis ist soweit ich verstanden habe, eine Basis gemeint, wo die Vektoren alle aus Koordinaten mit jeweils einer 1 stehen(Für x,y,z…) und die anderen Koordinaten 0 sind. ???
─
mbstudi
25.02.2022 um 17:12
Versuch doch mal zu zeigen, dass in meinem Beispiel die Standardbasis eine Basis ist, dann siehst du woran es scheitert
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mathejean
25.02.2022 um 17:45
Und die letzte Frage wäre noch, die Standardbais mit jeweils einer 1 und der Rest 0, diese Stamdardbasis könnte man doch für jede beliebige Matrix oder vektorrau, angeben oder nicht ? ─ mbstudi 25.02.2022 um 15:58