Beispiel zum Banachschen Fixpunktsatz

Aufrufe: 1108     Aktiv: 24.11.2019 um 15:35
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Hallo,

ich brauch hilfe dabei das obige Beispiel genauer zu verstehen.

Ich erkenne irgendwie nicht so ganz wie er jetzt zeigt, dass es sich bei g um eine Kontraktion handelt und ob er die Kontraktionkonstante überhaupt ausrechnet, denn die brauche ich ja um die Fehlerabschätzung zu machen. 

Er führt da ja auch eine Fehlerabschätzung auf, jedoch sehe ich nicht welche er verwendet hat und wie er jetzt genau auf die Ergebnisse kommt.

Vielen dank schonmal

LG 

Joline

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Student, Punkte: 95

 
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Hallo,

das Bild ist leider nicht so sonderlich gut zu erkennen. Allerdings sieht es für mich so aus, das die Kontraktionskonstante 

$$ C = \Vert g' \Vert_{J_r} $$

Die Formel für die Fehlerabschätzung kenne ich leider nicht. Vielleicht magst du mir einmal die Formel schicken, dann gucke ich gerne nochmal drüber.

Grüße Christian

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Ich habe das Beispiel und die Bemerkung zur Fehlerabschätzung oben in meiner Frage eingefügt.
Ist die Kontraktions-Konstante dann einfach die Ableitung zum Betrag, oder wie ist das gemeint?   ─   joline 23.11.2019 um 13:59
Ja genau, da
$$ g'(x) = 1 - \sin(x) $$
und \( x \in (0, \pi ) \), sind die Nullstellen vom Sinus nicht im Intervall und die Ableitung ist für alle \( x \) aus dem Intervall kleiner als \( 1 \) und nicht negativ.

Was genau ist den Punkt (6)? Dieser scheint ja für die Abschätzung verantwortlicht zu sein oder? Wir haben auch eine kubische Konvergenz und keine lineare.

   ─   christian_strack 23.11.2019 um 14:16
Aber muss die Kontraktions-Konstante nicht eine Konstante sein? So wie ich das verstehe, brauch ich diese ja um den Fehler ausrechnen zu können und bei der Rechnung im Buch ist der Fehler ja auch eine Zahl und nichts, was von einer Variable abhängig ist.   ─   joline 23.11.2019 um 15:24
Ja aber wir können die Ableitung nach oben abschätzen, mit
$$ \Vert g' \Vert_{J_r} \leq C < 1 $$
Das ich das gleich der Konstante gesetzt habe war etwas missverständlich. Tut mir Leid :)   ─   christian_strack 24.11.2019 um 15:35

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