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Steht da ausdrücklich dran, dass man mit \(t = \sin(x)\) arbeiten muss, oder ist das nur ein Vorschlag? Andernfalls würde ich wohl eher mit \(u = arcsin(t)\) arbeiten. Hier tut man sich damit meiner Ansicht nach leichter.
\(du = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\) Kann natürlich sein, dass man diese Ableitung nachschlagen muss (Formelsammlung).
Damit kann man das Integral nun munter bearbeiten.
\(\int_0^1 \frac{\arcsin(t)}{\sqrt{1-t^2}} \; dt = \int \frac{u}{\sqrt{1-t^2}}\cdot \sqrt{1-t^2} \; du\)
\(= \int u \; du = \frac12 u^2 + c\)
Dann wieder resubstituieren und wir haben:
\(\left[\frac12 arcsin(t)^2\right]_0^1 = \frac{\pi^2}{8}\)
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orthando
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Auch das ist kein Problem, aber nur wegen dem Intervall in dem wir uns bewegen :P.
Es ergibt sich dann:
\(\int \frac{\arcsin(\sin(x))}{\sqrt{1-\sin(x)^2}}\cdot \cos(x)\;dx\)
Hier habe ich also \(t = \sin(x)\) eingesetzt und \(dt\) ersetzt. Im Zähler bleibt nur noch x stehen, da sich die Umkehrfunktionen aufheben. Im Nenner haben wir letztlich \(\cos(x)\) stehen (denn \(1 = \cos(x)^2 + \sin(x)^2\)) (und das geht nur so einfach, wegen dem betrachteten Intervall. Sonst bräuchte es Betrag/Fallunterscheidung), was sich mit dem \(\cos(x)\) vor \(dt\) kürzt. Über bleibt es also x zu integrieren. Es geht also prinzipiell weiter wie oben in der zweiten "Rechen"zeile.
Ok? ;) ─ orthando 09.05.2019 um 15:22
Es ergibt sich dann:
\(\int \frac{\arcsin(\sin(x))}{\sqrt{1-\sin(x)^2}}\cdot \cos(x)\;dx\)
Hier habe ich also \(t = \sin(x)\) eingesetzt und \(dt\) ersetzt. Im Zähler bleibt nur noch x stehen, da sich die Umkehrfunktionen aufheben. Im Nenner haben wir letztlich \(\cos(x)\) stehen (denn \(1 = \cos(x)^2 + \sin(x)^2\)) (und das geht nur so einfach, wegen dem betrachteten Intervall. Sonst bräuchte es Betrag/Fallunterscheidung), was sich mit dem \(\cos(x)\) vor \(dt\) kürzt. Über bleibt es also x zu integrieren. Es geht also prinzipiell weiter wie oben in der zweiten "Rechen"zeile.
Ok? ;) ─ orthando 09.05.2019 um 15:22
Oh, wow, vielen dank! 😊Glaube ich habe es verstanden. Aber ist es nach der Resubstitution dann einfach [1/2 sin(x)^2] ?
─
ellyonjune
09.05.2019 um 15:44
Nein, das passt nicht ganz. Wir haben ja \(\int x \; dx = \left[\frac12 x^2 \right]\). Wir hatten aber \(t = \sin(x)\). Du musst also erst nach x auflösen, damit du das \(x^2\) ersetzen kannst ;).
─
orthando
09.05.2019 um 16:00
da war ich wohl zu vorschnell. Dann landen wir also doch wieder bei [1/2 arcsin(t)^2], oder?
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ellyonjune
09.05.2019 um 17:59
Genau :). Da nur noch die Grenzen t = 1 und t = 0 einsetzen und voneinander abziehen ;):
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orthando
10.05.2019 um 07:27
Kriegst du das auch hin? ─ ellyonjune 09.05.2019 um 15:05