Steht da ausdrücklich dran, dass man mit \(t = \sin(x)\) arbeiten muss, oder ist das nur ein Vorschlag? Andernfalls würde ich wohl eher mit \(u = arcsin(t)\) arbeiten. Hier tut man sich damit meiner Ansicht nach leichter.
\(du = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\) Kann natürlich sein, dass man diese Ableitung nachschlagen muss (Formelsammlung).
Damit kann man das Integral nun munter bearbeiten.
\(\int_0^1 \frac{\arcsin(t)}{\sqrt{1-t^2}} \; dt = \int \frac{u}{\sqrt{1-t^2}}\cdot \sqrt{1-t^2} \; du\)
\(= \int u \; du = \frac12 u^2 + c\)
Dann wieder resubstituieren und wir haben:
\(\left[\frac12 arcsin(t)^2\right]_0^1 = \frac{\pi^2}{8}\)
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Es ergibt sich dann:
\(\int \frac{\arcsin(\sin(x))}{\sqrt{1-\sin(x)^2}}\cdot \cos(x)\;dx\)
Hier habe ich also \(t = \sin(x)\) eingesetzt und \(dt\) ersetzt. Im Zähler bleibt nur noch x stehen, da sich die Umkehrfunktionen aufheben. Im Nenner haben wir letztlich \(\cos(x)\) stehen (denn \(1 = \cos(x)^2 + \sin(x)^2\)) (und das geht nur so einfach, wegen dem betrachteten Intervall. Sonst bräuchte es Betrag/Fallunterscheidung), was sich mit dem \(\cos(x)\) vor \(dt\) kürzt. Über bleibt es also x zu integrieren. Es geht also prinzipiell weiter wie oben in der zweiten "Rechen"zeile.
Ok? ;) ─ orthando 09.05.2019 um 15:22
Kriegst du das auch hin? ─ ellyonjune 09.05.2019 um 15:05