Ich verstehe nicht ganz, welches Problem du mit dem Summenzeichen hast, denn das wird dort nirgends verwendet. Benutzt wird hier das Quotientenkriterium, um zu zeigen, dass die Reihe divergiert. 

Das Resultat $$\lim_{k\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}=\mathrm{e}$$ ist ziemlich fundamental und wird hier natürlich verwendet. Für das Verständnis solltest du dir dazu einen eigenständigen Beweis heraussuchen. Oft wird es im Zusammenhang mit der Zinsrechnung (zumindest in der Schule) eingeführt. Was passiert, wenn ich einen Euro ein Jahr lang zu einem Zinssatz von 100 % verzinse und die Zinsen am Ende des Jahres gutgeschrieben werden? Was passiert, wenn ich den Zeitraum halbiere und die Zinsen halbjährlich gutgeschrieben werden? Was passiert bei vierteljährlicher Gutschrift, monatlicher Gutschrift, täglicher Gutschrift usw. Wenn man das mal durchrechnet, stellt man fest, dass mit immer kleineren Zinsperioden das Kapital am Ende des Jahres nicht größer wird als \(\mathrm{e}\). Probier es ruhig mal aus. :)