Also für a) ist deine Antwort nicht Korrekt. Es wird nach dem Extrempunkt gefragt. Heißt also, dass du erst ableiten musst, die Ableitung =0 setzt und dann für x=2 einsetzt. Dann kannst du a ausrechnen. Im Detail:
\( f_a'(x)=0= 2*e^{2x}-a*e^x\). Für x=2 steht da dann: \( 0=2*e^4-a*e^2 \), umgestellt dann \( a=2*e^2 \).

Für b): Hier bildest du die zweite Ableitung und setzt diese 0 und setzt dann x=0 ein, da der Punkt ja auf der y-Achse liegen soll, dort gilt ja x=0.

Für c): Eigentlich sollte dich das x als Exponent von e nicht verwirren, da es da sehr häufig steht. Das Integral von \( e^{2x} \) ist \( \frac{e^{2x}}{2} \). Das vom zweiten Term ändert sich nicht, also \( a*e^x \).

Für d): Hier musst du auch integrieren. Da du die Fläche mit den Koordinatenachsen möchtest, musst du die Nullstelle der Funktion berechnen. Also: \( 0=e^{2x}-ae^x \). Es ergibt sich x=ln(a). Somit rechnen wir die Fläche aus indem wir folgendes Integral lösen: \( \int_{ln(a)}^{0}f_a(x) dx =2\). Hier bekommst du dann einen Wert für a raus. Ich habe die Integrationsgrenzen vertauscht, da die Fläche im 4. Quadranten liegt und sonst negativ würde.

Bei der \(a\) musst du rausfinden wann das Maximum von f bei x=2 liegt. Nur einsetzen bringt da nichts. Du musst hier das a finden, für das die erste Ableitung für x=2 0 wird. Du kannst dafür die Funktion als ein Funktion in a betrachten, aber zuerst musst du dennoch nach x ableiten.

Hier eine Ähnliche Fragestellung: Wann ist der Wendepunkt von f in x=0, also die zweite ABleitung (nach x) =0.

Die Stammfunktion bildest du ganz normal, einfach das a "mitschleppen" Behandle es wei eine Zahl.

Bei der (d) wirst du denke ich auch kein problem mehr haben wenn du das "a" problem gelöst hast.

Prinzipiell gilt: Dieses a ist einfach wie eine gewöhnliche Zahl zu behandeln. Grade beim auf und ableiten sollte dich das nicht weiter stören.