Frage ob Untervektorraum mit Vektoren v1 .... v5 eine Lineare Hülle bildet

Aufrufe: 438     Aktiv: 04.10.2022 um 00:00
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Hallo zusammen,

Ich muss die folgende Aussage bewerten und dann begründen.
Leider bin ich aus den Folien noch nicht schlau genug geworden.

"Jeder Untervektorraum, der die Vektoren v1, . . . , v5 und alle ihre Linearkombinationen

enthält, ist eine lineare Hülle dieser Vektoren."

Ich denke die Antwort müsste heißen Nein, Aussage so nicht korrekt da sie nicht auf jeden Vektorraum zutrifft, sondern nur auf einen Vektorraum mit der Dimension 5?  (IR^5)?

Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen.

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Student, Punkte: 31

 
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Nein, das hat mit der Dimension nichts zu tun. Schau die Def. von "lineare Hülle" genau nach: Steht da was von Dimension, linear unabhängig, o.ä.? Vielleicht steckt hinter Deiner Idee aber eine richtige Überlegung.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.04K

 
Also wir arbeiten mit folgender Definition:
Gegeben seien Vektoren vi, i = 1, . . . , r eines Vektorraumes V ¨uber einem K¨orper K. Dann
bezeichnet man die Menge aller Linearkombinationen der vi als lineare H¨ulle der Vektoren
vi, i = 1, . . . , r. Man schreibt:
LH(v1, v2, . . . , vr) = {a1v1 + . . . + arvr | vi ∈ V, ai ∈ K, i = 1, . . . , r}

Also bildet ja die Menge der Linearkombinationen eine Lineare Hülle, dieser Punkt ist also erfüllt. In der Aussage wurde aber die Bedingung "Vektorraum V über einen Körper K" nicht erwähnt - gehe ich dann richtig in der Annahme, dass dieser Punkt bei der Aussage fehlt und sie deswegen falsch ist?   ─   geronimo0815 03.10.2022 um 19:53
UR soll heißen Untervektorraum?

LH(u1, u2, . . . , u5) = {a1u1 + . . . + a5u5 | ui ∈ U, ai ∈ K, i = 1, . . . , 5}

Also die Antwort lautet, die Aussage ist falsch, denn es gibt nur einen Untervektorraum, der die Vektoren v1, . . . , v5 und alle ihre Linearkombinationen enthält, und dieser ist dann die lineare Hülle dieser Vektoren. ?   ─   geronimo0815 03.10.2022 um 22:31
Da komme ich jetzt nicht drauf auf die formalisierte Mengenschreibweise.
Ich habe aber folgenden Teil gefunden, den ich bsiher im Skript übersehen habe:
Die lineare H¨ulle LH(v1, . . . , vr) von Vektoren v1, . . . , vr ist ein Untervektorraum.
Sie ist der kleinste Untervektorraum, der die Vektoren v1, . . . , vr enth¨alt.

Die Aussage ist also falsch, weil die Eingrenzung auf den kleinsten Untervektorraum fehlt.   ─   geronimo0815 03.10.2022 um 23:00
Weil ein Untervektorraum neben v1...v5 plus LinKomb theoretisch auch z,B, noch einen v6 zusätzlich enthalten könnte?   ─   geronimo0815 03.10.2022 um 23:49

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.