Hallo,
ich beziehe mich auf deinen zweiten Link. Es gilt
\( f(x) = f(x_0) + \frac {(x-x_0)^n} {n!} f^{(n)}(x_0 + \vartheta (x-x_0)) \)
Es wird zuerst nur der Fall betrachtet das \( f^{(n)}(x_0) > 0 \) gilt. Der Fall \( f^{(n)}(x_0) < 0 \) läuft analog ab.
Nun da \( f^{(n)}(x_0) > 0 \) gilt aufgrund der Stetigkeit für alle \( x \) in einem kleinen Intervall um \( x_0 \) auch \( f^{(n)}(x) > 0 \), also
\( f^{(n)}(x_0 + \vartheta (x-x_0)) > 0 \ \forall x \in (x_0 - \delta , x_0 + \delta) \).
Jetzt zu den Fällen:
1. Fall:
Wenn \( n \) gerade ist, ist \( (x-x_0)^n \) positiv.
Das hat folgenden Grund. Mit \( a> 0 \) und \( n \) gerade, also \( n = 2m \) mit \( m \in \mathbb{N} \) gilt
\( (-a)^n = (-a)^{2m} = ((-a)^2)^m = (a^2)^m \)
Gucken wir uns nun die ursprüngliche Gleichung an
\( f(x) = f(x_0) + \frac {(x-x_0)^n} {n!} f^{(n)}(x_0 + \vartheta (x-x_0)) \)
\( \forall x \in (x_0 - \delta , x_0 + \delta ) \) gilt nun \( f^{(n)}(x_0 + \vartheta (x-x_0) > 0 \), \( (x-x_0)^n \geq 0 \) und \( n! > 0 \). Damit ist auch
\( \frac {(x-x_0)^n} {n!} f^{(n)}(x_0 + \vartheta (x-x_0)) = c \geq 0 \\ \Rightarrow f(x) = f(x_0) + c \\ \Rightarrow f(x) \geq f(x_0) \)
Sogar \( f(x) > f(x_0) \) , \( \forall x \in (x_0 - \delta , x_0 + \delta)\backslash \{x_0\} \)
Wir haben also einen Tiefpunkt.
(Hätten wir hier am Anfang \( f^{(n)}(x_0) < 0 \) gewählt, hätten wir hier am Ende \( f(x_0) > f(x) \) erhalten, also den Beweis für einen Hochpunkt)
Nun zum zweiten Fall:
Wenn \( n \) ungerade ist, betrachten wir die Ableitung von \( f(x) \), also \( f'(x) \). Das machen wir, da wir dann im Restglied ein gerades \( n-1 \) betrachten.
Wir erhalten wieder durch die \( f^{(k)}(x_0) = 0 \) mit \( k = 1,2,3,\ldots, n-1 \) einen ähnlichen Ausdruck
\( f'(x) = \frac {(x-x_0)^{n-1}} {(n-1)!} f^{(n)}(x_0 + \vartheta (x-x_0)) \)
Wir gucken uns nun von der rechten Seite der Gleichung jeden Faktor an.
\( (x-x_0)^{n-1} \geq 0 \) , da \( n-1 \) gerade ist.
\( (n-1)! > 0 \)
\( f^{(n)}(x_0 + \vartheta (x-x_0) > 0 \)
(Hätten wir den Fall \( f^{(n)}(x_0) < 0 \) hätten wir hier \( f^{(n)}(x_0 + \vartheta (x-x_0) \leq 0 \))
Das führt uns dazu das \( f'(x) \geq 0 \) ist. Das wiederrum bedeutet aber das wir an dieser Stelle einen Sattelpunkt haben.
Ich hoffe es ist jetzt verständlicher. Ansonsten melde dich nochmal.
Grüße Christian
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