Gibt es Funktionen ohne eine Stammfunktion?

Erste Frage Aufrufe: 2286     Aktiv: 17.04.2021 um 14:34
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Hallo, 
Gibt es eigentlich Funktionen, zu denen man keine Stammfunktion bilden kann?
Würde mich über Beispiele freuen.
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Eine Stammfunktion zu einer Funktion \(f(x)\) ist eine Funktion \(F(x)\), sodass \(F'(x)=f(x)\) ist. Das sagt nichts darüber aus, ob eine Stammfunktion überhaupt existiert. Wenn man sie sogar angeben kann (z.B. durch Integration), dann existiert sie auch. Es gibt aber Funktionen, z.B. \(f(x)=e^{-x^2}\), die sich (mit den bekannten Methoden) nicht integrieren lassen, was aber nicht heißt, dass eine Stammfunktion dazu nicht existiert.   ─   gerdware 15.04.2021 um 13:38
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Für jede stetige Funktion \(f\) auf \([a,b]\) ist \(F(x)=\int_a^x\!f(t)\,\mathrm{d}t\) eine Stammfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung). 

Wenn wir also eine Funktion suchen, die keine Stammfunktion hat, so darf sie jedenfalls nicht stetig sein. Beispielsweise könnte man \(f(x)=\begin{cases}-1, &x<0\\ 1, &x\geq 0\end{cases}\) nehmen.
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