Zu a) Setze \( B_1 := A_1 \) und \( B_k := A_k \setminus \cup_{i=1}^{k-1} B_i \) für \(k \ge 2\). Dann sind die \( B_k \) paarweise disjunkt und es gilt \( \cup_{k=1}^\infty B_k = A \). Damit folgt nun

\( \sum_{k=1}^n P(B_k) \) \( = P(B_n) + \sum_{k=1}^{n-1} P(B_k) \) \( = P(A_n \setminus \cup_{k=1}^{n-1} B_k ) + P(\cup_{k=1}^{n-1} B_k) \) \( = P( ( A_n \setminus \cup_{k=1}^{n-1} B_k ) \cup ( \cup_{k=1}^{n-1} B_k ) ) = P(A_n) \)

und somit

\( P(A) \) \( = P(\cup_{k=1}^\infty B_k) \) \( = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) \) \( = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n P(B_k) \) \( = \lim_{n \to \infty} P(A_n) \)

Zu b) Es gilt \( A_n^C \uparrow A^C \). Mit a) erhalten wir

\( P(A) \) \( = 1 - P(A^C) \) \( = 1 - \lim_{n \to \infty} P(A_n^C) \) \( = \lim_{n \to \infty} 1 - P(A_n^C) \) \( = \lim_{n \to \infty} P(A_n) \)