Die Lösung ist relativ einfach. Aber erstmal zur Partitionszahl: Wie du richtig erkannt hast, kann man diese auch über den Binomialkoeffizienten berechnen. Wenn man das macht, fällt aber relativ viel weg, so dass der Ausdruck deutlich einfacher wird, auch in der Handhabung. Wir können uns dazu ein kurzes Beispiel anschauen: 

Verteile 9 Personen auf eine Zweier-, eine Dreier- und eine Vierergruppe. Dann gibt es offenbar \(\binom{9}{4}\) Möglichkeiten, eine Vierergruppe zu bilden. Zu jeder dieser Möglichkeit, gibt es dann \(\binom{5}{3}\) Möglichkeiten, die Dreiergruppe zu bilden (bedenke, dass jetzt nur noch 5 Personen zur Auswahl stehen). Für die letzte Gruppe mit zwei Personen gibt es dann nur noch eine Möglichkeit bzw. \(\binom{2}{2}\), weil eben nur noch zwei Personen übrig bleiben, die eine Gruppe bilden. Die Gesamtzahl aller Kombinationen erhält man dann durch Multiplikation, also 

\(\dbinom{9}{4}\dbinom{5}{3}\dbinom{2}{2}=\dfrac{9!5!2!}{4!5!3!2!0!}=\dfrac{9!}{4!3!2!}\).

Siehst du nun den Zusammenhang zu deiner Formel? Wenn jetzt eine Gruppe mit gleicher Gruppengröße \(k\) mal vorkommt, muss man zusätzlich noch durch \(k!\) teilen, weil bei gleicher Gruppengröße doppelte Kombinationen auftreten (man kann sich überlegen, wie man das formal beweisen kann). 

Nun zur Erklärung des Zählers: Dazu benutze ich jetzt einfach deine Definition von \(a\). Es wird angenommen, dass Brutus und Cassius bereits in einer Gruppe sind. Dann wird nur noch geschaut, wie ich die übrigen 8 Personen aufteilen kann. Dafür gibt es zwei Fälle: 

1. B. und C. sind in einer 3er-Gruppe. Dann bleiben nur noch die Aufteilungen 1er-Gruppe, 3er-Gruppe und 4er-Gruppe, also \(a(1,3,4)\). B. und C. zusammen mit der 1er-Gruppe bilden dann die zweite 3er-Gruppe.

2. B. und C. sind in einer 4er-Gruppe. Dann bleiben nur noch die Aufteilungen 2er-Gruppe und zwei 3er-Gruppen, also \(a(2,3^2)\). B. und C. zusammen mit der 2er-Gruppe bilden dann die 4er-Gruppe.

Das war's auch schon. Man reduziert also das Ausgangsproblem auf ein anderes Problem, indem man B. und C. bereits in eine Gruppe steckt. Dann schaut man nur noch, wie man die restlichen Personen, entsprechende der "Teilungsformel" aufteilt. 

Ich hoffe, das hilft dir beim Verständnis weiter. Falls du noch Fragen hast, gerne kommentieren.