Das Prinzip ist :Um die Gültigkeit der Gleichung nachzuweisen, prüft man den ersten Wert auf Richtigkeit :hier n=0; \(\sum_{k=0}^0x^0 =1= {x^{0+1}-1 \over x-1}={x-1 \over x-1} =1\).
Dann versucht man nachzuweisen, dass die Gleichung auch für den (allgemein) nächsten Wert für n gilt.Und wenn es für jeden nächsten Wert (n+1) gilt, dann gilt es für alle.
Also Annahme: Gleichung ist richtig für n; Berechnen ob Gleichung auch für (n+1) gilt
\( \sum_{k=0}^{n+1}x^k=\sum_{k=0}^n x^k + x^{n+1}= {x^{n+1} -1 \over x-1}+ x^{n+1}={x^{n+1} -1 + x^{n+1}*(x-1) \over x-1} = {x^{n+1} -1 +x^{n+1+1}-x^{n+1} \over x-1}={ x^{(n+1) +1} -1 \over x-1}\) q.e.d.