Mir würde die folgende Möglichkeit einfallen:

Man kann mithilfe der Additionstheoreme zeigen, dass
\( \cos(5x) = 16 \cos^5(x) - 20 \cos^3(x) + 5 \cos(x) \)
ist.

Damit kann man dann folgern, dass \( \cos(\frac{2 \pi}{5}) \) eine Nullstelle des Polynoms
\( p = 16X^5-20X^3+5X-1 \)
ist.

Da \(1\) offensichtlich eine Nullstelle von \(p\) ist, kann man \( X-1 \) rausfaktorisieren. Wenn man den Restterm dann noch umformt kommt man auf die Darstellung
\( p = (X-1)(4X^2+2X-1)^2 \)

Und damit erhält man nun ganz leicht die Nullstellen \( 1 \), \( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \) und \( \frac{-\sqrt{5}-1}{4} \).

Nun kann man sich überlegen, dass \( \cos(\frac{2 \pi}{5}) \) weder \( 1 \) noch \( \frac{-\sqrt{5}-1}{4} \) sein kann. Es muss also \( \cos(\frac{2 \pi}{5}) = \frac{\sqrt{5}-1}{4} \) sein.