Umkehrzahlen und deren Ergebnis

Aufrufe: 632     Aktiv: 04.11.2021 um 21:26
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Hallo, eine Frage zu den Umkehrzahlen. DIe Umkehrzahl zur 46 wäre etwa die 64. Wenn ich mir die alle gefundenen Umkehrzahlen ansehe und diese addiere erhalte ich immer ein Vielfaches von 11 als Ergebnis. Gibt es hier einen Beweis (bspw. an der Hundertertafel)

Wenn ich die Umkehrzahlen voneineander subtrahiere erhalte ich immer ein Vielfaches von 9. Dies kann ich mir an der Hundertafel erklären. 64 - 46 = 18   18 = 2*9   
Man gelangt  von der kleineren zur größeren Zahl, indem man jeweils auf der Hundertertafel ein Feld nach links (- 1) und anschließend ein Feld nach unten (+ 10), also diagonal + 9 schreitet

Wie es allerdings mit dem Vielfachen von 11 funktioniert, kann ich mir bisher nicht erklären.
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Du kannst eine zweistellige Zahl ja schrieben als $a\cdot 10 + b\cdot 1$, wobei $a$ die Zehner und $b$ die Einer sind. Wenn du nun diese Zahl mit der Umkehrzahl $b\cdot 10 + a\cdot 1$ addierst, erhältst du $a\cdot 10 + b\cdot 1 + b\cdot 10 + a\cdot 1=11a+11b=11 (a+b)$. Du kannst also einfach die Ziffern zusammenrechnen und mal 11 nehmen und schon hast du die Summe der Zahl und seiner Umkehrzahl. 

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