Lösungsmenge = Leere Menge (Beweisen)

Aufrufe: 977     Aktiv: 04.09.2020 um 12:05
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Hi,

eine letzte Frage, damit ich sicher bin, dass ich hier richtig liege und es richtig habe.

D = R \ {-1 ; 0,5}

Ich habe zuerst beide Brüche auf eine Seite geholt und -2 gerechnet:

(5x-5/x+1) - (6x-3/2x-1) = 2    /// Anschließend habe ich * (x+1) und *(2x-1) gerechnet um die Nenner zu entfernen.

[ 5x - 5 * (2x-1) ] - [ 6x - 3 * (x+1) ] = 2
(5x-10x-5) - (6x-3x-3) = 2
2x - 8 = 2 / +8 / :2
x = 5

Die Lösung laut Musterlösung ist L = { } - also Leere Menge. Meine Frage ist nun, ob ich richtig gerechnet habe. Denn wenn man x = 5 einsetzt kommen in beiden Gleichungen verschiedene Ergebnisse raus. Da ich diesen Fall bis dato so noch nicht hatte, möchte ich wissen, ob mein Rechenweg so richtig ist und das so "bewiesen" ist.

Danke!

 

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Du musst, um die Nenner zu beseitigen, die ganze Gleichung mit (x+1) und (2x+1) multiplizieren! :-) Du hast das aber nur links getan, da passt das. Aber auch die 2 auf der rechten Seite muss mit den Nennern multipliziert werden! Rechts muss also stehen: 2 * (x+1) * (2x+1)

Dass du einfach die Brüche dadurch auflöst, dass du den Zähler des einen Bruches mit dem Nenner des anderen multiplizierst, funktioniert nur, wenn es nur diese zwei Brüche gibt. Aber es kann ja auch noch andere Summanden in der Gleichung geben und die kann man dabei nicht einfach ignorieren.

Im Grunde führt man ja auch hier Äquivalenzumformungen durch. Das heißt, zunächst multipliziert man eben die Bruchgleichung mit dem ersten Nenner. Dadurch bleibt bei dem Bruch, dessen Nenner man verwendet hat, nur der Zähler übrig, da sich der Nenner rauskürzt. Bei allen anderen Summanden auf jeder Seite der Gleichung muss dann aber eben auch mit diesem Nenner multipliziert werden. Das findet dann bei einem Bruch eben im Zähler statt und bei einer Nicht-Bruchzahl eben einfach so. Wenn man dann mit dem nächsten Nenner multipliziert folgt wieder dasselbe ...

Ist dir damit geholfen? :-)

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Und mir fällt übrigens gerade auf, dass wenn man sich den Zähler des zweiten Bruches anschaut, man erkennen könnte, dass sich da die 3 ausklammern lässt: 6x-3 = 3(2x-1). Wenn man das am Anfang schon sieht, kann man die 2x-1 nämlich gleich wegkürzen, 3 bleibt übrig, und die Gleichung wird kompakter. :-)   ─   andima 04.09.2020 um 10:37
Danke dir! Frage mich gerade selbst, warum ich auf der rechten Seite die Nenner mit multipliziert habe...
Habe nun auch 6x-3 ausgeklammert. Als Lösung kommt bei mir dann 0 = 6 raus und das ist dann ja L = { ] - richtig? :-)   ─   premiumgrade 04.09.2020 um 11:12
Gerne! Bei mir kam 0 = 10 raus. :-) Aber die Lösungsmenge würde trotzdem passen. :-)   ─   andima 04.09.2020 um 11:18
Vermute, du hast falsch ausmultipliziert. 5 * ( x+1) = 5x + 5 :-)   ─   andima 04.09.2020 um 11:20
So nun richtig?

(5x-5/x+1) - (3*(2x-1)/2x-1) = 2 // * (x+1) und (2x-1) wegkürzen
5x - 5 - 3 * (x+1) = 2 * (x+1)
5x - 5 - 3x + 3 = 2x+2
2x - 2 = 2x + 2 / +2 / -2x
0 = 4

So richtig? :-)   ─   premiumgrade 04.09.2020 um 11:35
Okay. Ich habe ne andere Reihenfolge der Umformungen gewählt.
Dein Weg geht auch, aber trotzdem Fehler bei dir beim Ausmultiplizieren (zweite zu dritter Zeile): -3 * (x+1) = -3x - 3
Ich dagegen hab zuerst (2x-1) weggekürzt, dann +3 gerechnet, wodurch rechts 5 steht, und dann erst mit (x+1) multipliziert. :-)   ─   andima 04.09.2020 um 11:43
Oh, da war ich zu langsam :-)   ─   andima 04.09.2020 um 11:44
Ändert aber nichts am Ausmultiplizieren von -3 * (x+1) = -3x - 3
:-)   ─   andima 04.09.2020 um 11:45
So, 0 = 10 ist dann aber jetzt richtig, ja? Sonst Zweifel ich an mir selber... :-D
(5x-5/x+1) - (3*(2x-1)/2x-1) = 2 // * (x+1) und (2x-1) wegkürzen
5x - 5 - 3 * (x+1) = 2 * (x+1)
5x - 5 - 3x - 3 = 2x+2
2x - 8 = 2x + 2 / +8 / -2x
0 = 10   ─   premiumgrade 04.09.2020 um 11:49
Jetzt passt es. :-) Man sieht hier aber auch wieder gut, wie wichtig die Grundlagen sind, um richtige Lösungen zu bekommen. Ich weiß es aus Erfahrung mit zahlreichen Schülern, die bei diesem Thema nicht daran scheitern, wie man vorgehen muss, sondern daran, dass sich eine Vielzahl einfacher Rechenfehler einschleichen. :-)   ─   andima 04.09.2020 um 11:52
Das ist richtig... :-)
Danke!   ─   premiumgrade 04.09.2020 um 11:54
Gerne! :-)   ─   andima 04.09.2020 um 12:05

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