Wie @pipifax richtig sagt theoretisch mit dem Gauß-Algorithmus lösen. Aber wie du schon bemerkt hast kann die Rechnung länger dauern. Alternativ  kannst du es dir aber auch vereinfachen:
Stelle die letzten beiden Gleichungen jeweils nach einer Variable um und setze diese jeweils in die ersten drei Gleichungen, dann hast du recht schnell nur noch ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten. Dieses kannst du nun händisch mit dem Gaußverfahren in einem geringerem Zeitaufwand lösen. Andererseits sollte jeder gängige Taschenrechner ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten für dich lösen können, wenn du die entsprechenden Koeffizienten zusammengefasst eingibst.


Hoffe das hilft weiter.