Integral von ∫e^2x/(e^x+1) dx mit Grenze 0 bis ln(2) berechnen

Erste Frage Aufrufe: 374     Aktiv: 22.04.2022 um 00:43
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Ich sitze an der Aufgabe und verzweifele bald, da ich leider den Ansatz nicht hinbekomme, vielleicht kann mir jemand helfen...
Der Nenner soll als Substitution genutzt werden.

Ich stehe leider echt bei 0, sodass ich nichtmal einen Ansatz vorschlagen kann...


Beste Grüße!

EDIT vom 20.04.2022 um 21:30:

Das wäre meine Rechnung dazu erstmal... Habe ich mit jetzt mit der inneren und äußeren Funktion vertan?


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Dann substituiere doch einmal das was du substituieren sollst. Schreibe auf wie weit du kommst und lade deinen Rechenweg hoch, dann können wir dir weiterhelfen.   ─   maqu 20.04.2022 um 17:41
Das würde ich gerne, verstehe es aber leider nicht, wie ich anfangen soll... :((
Was sagt es mir denn überhaupt, dass ich den Nenner als Substitution nehmen soll?
Tut mir leid, wenn das eine doofe Frage ist...   ─   suche.erhellung 20.04.2022 um 20:42
(𝐹(𝑔(𝑥)))′=𝐹′(𝑔(𝑥))·𝑔′(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥))·𝑔′(𝑥)

Das kenne ich zur (linearen) Substitution, aber das kann ich hier drauf nicht anwenden..
   ─   suche.erhellung 20.04.2022 um 20:48
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Es ist \(e^{2x}=(e^x)^2\), deshalb funktioniert Substitution so gut, weil sich einiges wegkürzt.
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Aber in dem Bruch bzw. Nenner kann ich doch nichts mit kürzen, oder stehe ich auf dem Schlauch? Muss ich alles erst ins andere Form bringen?
   ─   suche.erhellung 20.04.2022 um 20:39

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Hast du überhaupt schon einmal substituiert? Falls nicht schaue dir vielleicht ein Beispiel unter dem folgenden Link an:
https://www.youtube.com/watch?v=Q_xuUYnutZo
Das substituieren der Grenzen wie im Video kannst du weglassen da du "nur" die Stammfunktion bestimmen möchtest.


Substituiere dann einfach erstmal $u=e^x+1$ wie es von dir gefordert ist. Dann noch $u'=\dfrac{du}{dx}=\ldots$ ermitteln und nach $dx$ umstellen. Versuche soweit wie möglich selbst zu kommen. Lade deinen Versuch hoch, dann helfen wir dir weiter!
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Perfekt, besten Dank!   ─   suche.erhellung 20.04.2022 um 20:49
Ich habe meine Rechnung als Edit hinzugefügt... Ist das erstmal so richtig? Ich war mit jetzt nicht sicher, ob ich den Zähler als äußere Funktion ansehen muss. Das erscheint mir seltsam...   ─   suche.erhellung 20.04.2022 um 21:31
Zunächst substituierst du ja um einen Term zu vereinfachen und eine neue Variable zu setzen. Du hast auf jeden Fall erst einmal richtig abgeleitet und nach $dx$ umgestellt! Darüber hinaus hast du $u=e^x+1$ substituiert, dann ersetze das doch dementsprechend in deinem Integral, also:
\[\int \dfrac{e^{2x}}{e^x+1} \text{d}x= \int \dfrac{e^{2x}}{u} \dfrac{1}{e^x} \text{d}u\]
Du hast jetzt erst einmal mit deiner Substitution den Term im Nenner durch $u$ ersetzt und deine Integrationsvariable substituiert ($dx$ durch $du$ ersetzt). Nun schau wie du verbleibenden e-Terme vereinfachen kannst (Stichwort: Potenzgesetz) und danach den restlichen Term mit $x$ durch einen Term mit $u$ zu ersetzen. Du möchtest nämlich am Ende nur noch $u$ als Variable im Integral stehen haben.   ─   maqu 20.04.2022 um 23:39
Ich habe die Antwort gestern gar nicht mehr gesehen. Mit Hilfestellung habe ich es tatsächlich noch hinbekommen und konnte es bei einer weiteren Aufgabe nochmals anwenden...
Vielen Dank für die schnelle und geduldige Hilfe!
Es wird wohl nicht die letze Frage gewesen sein... :D
   ─   suche.erhellung 22.04.2022 um 00:18
Immer gern   ─   maqu 22.04.2022 um 00:43

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