Stetigkeit einer Funktion

Aufrufe: 535     Aktiv: 17.02.2021 um 20:48
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Hallo,

ich lerne gerade für meine Analysisklausur in der kommenden Woche. Zur Übung würde ich gerne die Stetigkeit der folgenden Funktion beweisen (mithilfe des Folgenkriteriums):

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-1 / x} & \text { für } x>0 \\ 0 & \text { sonst. }\end{array}\right.\)

Nun zu meinem bisherigen Ansatz: Für \(x>0\) ist \(f\) als Verknüpfung stetiger Funktionen stetig. Selbes gilt für \(x <0\). Es bleibt daher die Stetigkeit von \(f\) im Punkt \(0\) zu zeigen. Sei \((x_n)\) eine Folge mit \(\lim_{n \to \infty}x_n = 0\). Nun gilt: 

\(\lim_{n \to \infty}f(x_n) = \lim_{n \to \infty}e^{-1 / x_n} =\lim_{n \to \infty}\exp\left(-\frac{1}{x_n}\right)\)

So und ab diesem Punkt komme ich nicht mehr so wirklich weiter. Ich bin mir unsicher ob ich den limes da reinziehen kann (ich meine klar, die Exponentialfunktion ist stetig, aber ich kann ja in meinem Stetigkeitsbeweis nicht schon annehmen das es stetig ist) und selbst wenn ich das könnte, würde mir das ja glaube ich nicht so viel bringen, weil ich dann ja \(\exp(-\infty)\) hätte und damit kann ich ja auch nichts anfangen. Hätte hier vielleicht jemand einen hilfreichen Tipp oder Hinweis für mich?

Vielen Dank im Vorraus,
Kevin
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Erstmal solltest du annehmen, dass \(x_n>0\) für alle \(n\), sonst kannst du gar nicht \(f(x_n)=e^{-1/x_n}\) einsetzen. Das ist aber kein Problem, denn du kannst einfach den Grenzwert von oben und von unten seperat berechnen und der Grenzwert von unten ist offensichtlich \(0\). Jetzt zu deinem konkreten Problem: Du darfst verwenden, dass \(\exp\) stetig ist. Das dürftest du nur nicht verwenden, wenn du etwas beweisen sollst, was du dann später benutzt, um zu beweisen, dass \(\exp\) stetig ist. Also dürfen wir den Limes in die Exponentialfunktion reinziehen und bekommen \(-\infty\). Jetzt kann man nicht einfach \(e^{-\infty}\) schreiben, das stimmt, aber was ist denn \(\lim_{x\to-\infty}e^{x}\)? Dagegen muss dann auch dein Grenzwert konvergieren.
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Hm, okay. Über den ersten Teil mit den beiden Grenzwerten hatte ich tatsächlich auch schon nachgedacht, aber das geht ja wie du bereits erwähnt hast fix. Also erhalte ich \(\lim_{n \to \infty}\exp\left(-\frac{1}{x_n}\right)=\exp\left(\lim_{n\to\infty}-\frac{1}{x_n}\right)=\lim_{x\to\infty}\exp(x) = 0\). Kann ich sowas immer anwenden? Also das ich zB statt \(\lim_{x \to \infty}f(g(x))\) einfach \(\lim_{x \to - \infty}f(x)\) schreibe (falls \(g(x) \to -\infty\))? Habe ich so persönlich nämlich noch nicht gesehen...   ─   kingkevin23 17.02.2021 um 19:16
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Es gilt: Sei \(a\in\mathbb R\cup\{-\infty,\infty\}\) und \(f,g\) Funktionen, die in einer Umgebung von \(a\) stetig sind. Dann ist $$\lim_{x\to a}f(g(x))=\lim_{x\to\lim_{y\to a}g(y)}f(x),$$ falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. (Es kann sein, dass der Grenzwert rechts nicht existiert, der links aber schon. Wenn der rechts existiert, existiert aber auch der linke und beide sind gleich.)
Das kann man einfach mit dem Folgenkritierium beweisen.   ─   stal 17.02.2021 um 20:34
Ah, ok. Ich glaube sowas hatten wir tatsächlich mal irgendwo im Skript, suche ich gleich mal raus. Vielen Dank!   ─   kingkevin23 17.02.2021 um 20:44

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