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Ist es jetzt besser?
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1.) Mache mal bitte an Sätzen, die du zeigen willst, deutlich, dass du diese noch nicht gezeigt hast. Ich meine folgenden Satz: "Zu jedem \(\epsilon >0\) ex. ...."
Das hast du noch gar nicht gezeigt. Der Grund, warum du ihn hinschreibst, ist, weil du die Definition deiner Behauptung "\(|a_n-a|\to \infty\)" einsetzt. Dann musst du einen solchen Satz aber auch einführen mit "Wir wollen folgendes zeigen: " oder "Die Behautung ist äquivalent zu: " oder "Es genügt folgendes nachzuweisen: " oder "Die Behauptung \(|a_n-a|\to \infty\) ist definiert als." oder ....
Was du bereits sicher weißt und was du anstrebst muss immer trennscharf formuliert sein.
2.) Der Wert \(n(\epsilon)\) ist nirgens definiert und wird einfach im vorletzten Term benutzt.
3.) Das ist der wichtigste Punkt: Es ist mir überhaupt nicht ersichtlich, wie du \(\frac{|2-n|}{1+n_0^2(\epsilon)}<\epsilon\) gezeigt hast.
Frage: Hattet ihr eigentlich schon den Satz von L'Hospital gehabt?
Das hast du noch gar nicht gezeigt. Der Grund, warum du ihn hinschreibst, ist, weil du die Definition deiner Behauptung "\(|a_n-a|\to \infty\)" einsetzt. Dann musst du einen solchen Satz aber auch einführen mit "Wir wollen folgendes zeigen: " oder "Die Behautung ist äquivalent zu: " oder "Es genügt folgendes nachzuweisen: " oder "Die Behauptung \(|a_n-a|\to \infty\) ist definiert als." oder ....
Was du bereits sicher weißt und was du anstrebst muss immer trennscharf formuliert sein.
2.) Der Wert \(n(\epsilon)\) ist nirgens definiert und wird einfach im vorletzten Term benutzt.
3.) Das ist der wichtigste Punkt: Es ist mir überhaupt nicht ersichtlich, wie du \(\frac{|2-n|}{1+n_0^2(\epsilon)}<\epsilon\) gezeigt hast.
Frage: Hattet ihr eigentlich schon den Satz von L'Hospital gehabt?
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cunni
Punkte: 705
Punkte: 705
Schade, denn mit L'Hospital wäre das sehr einfach gewesen.
1.) Zunächst einmal kannst du damit beginnen diese Betragsstriche wegzulassen. Für ein hinreichend großes \(n\) lässt sich genau vorhersagen, ob der Zähler 2-n oder n-2 wird.
2.) Danach kannst du den Bruch aufteilen, sodass im Zähler keine Summe mehr steht.
3.) Bedenke, dass du eine Ungleichung hast. Das heißt du kannst immer Abschätzen. Abschätzungen, die ich verwendet habe um diese Aufgabe zu beweisen waren zum Beispiel \(1+\frac{1}{n_0^2}>1\) oder \(-\frac{2}{1+x^2} < 0\).
Du musst geeignete Stellen für diese Umformungen finden ohne den Zielwert \(\epsilon\) zu überschreiten.
Probiere einfach nochmal ein bisschen rum mit diesen Tipps. ─ cunni 06.11.2021 um 16:17
1.) Zunächst einmal kannst du damit beginnen diese Betragsstriche wegzulassen. Für ein hinreichend großes \(n\) lässt sich genau vorhersagen, ob der Zähler 2-n oder n-2 wird.
2.) Danach kannst du den Bruch aufteilen, sodass im Zähler keine Summe mehr steht.
3.) Bedenke, dass du eine Ungleichung hast. Das heißt du kannst immer Abschätzen. Abschätzungen, die ich verwendet habe um diese Aufgabe zu beweisen waren zum Beispiel \(1+\frac{1}{n_0^2}>1\) oder \(-\frac{2}{1+x^2} < 0\).
Du musst geeignete Stellen für diese Umformungen finden ohne den Zielwert \(\epsilon\) zu überschreiten.
Probiere einfach nochmal ein bisschen rum mit diesen Tipps. ─ cunni 06.11.2021 um 16:17
Den Punkt habe ich von vergessen: Du musst bei dieser Ungleichung übrigens niemals von \(n\) zu \(n_0\) rüberwechseln. Du musst viel mehr von \(n\) nach \(\epsilon\) kommen mit der Ungleichung \(n>n_0>\frac{1}{\epsilon}\).
Das \(n_0\) kommt in der Umformung nicht zwangsläufig vor. ─ cunni 06.11.2021 um 16:31
Das \(n_0\) kommt in der Umformung nicht zwangsläufig vor. ─ cunni 06.11.2021 um 16:31
ok danke. ich habe das jetzt versucht umzusetzen und ein neues bild hochgeladen. ist es so erstmal richtig? und wie macht man dann weiter... tut mir leid für die ganzen fragen, aber ich sitze schon den ganzen tag an dieser aufgabe
─
anonymf76f7
06.11.2021 um 16:46
dass n < n^2 ist, ist mir klar, aber wie genau kürzt sich dann das n weg?
─
anonymf76f7
06.11.2021 um 17:04
Wie mikn schon geschrieben hat. Es gibt hier viele Lösungsansätze. Ich hoffe wir verwirren jetzt nicht, weil wir 2 verschiedene verfolgen. Ich persönlich hätte einfach den Term \(-\frac{2}{1+n^2}\) mit 0 abgeschätzt (denn der Term ist ja immer negativ).
Beim anderen Bruch kann man die \(1\) im Nenner weglassen, wodurch der Bruch insgesamt auch größer wird. Bleibt \(\frac{n}{n^2}\) übrig. Einmal kürzen und dann \(n\geq n_0\geq\frac{1}{\epsilon}\Leftrightarrow \frac{1}{n} \leq \epsilon\) verwenden: Fertig.
Das ist wahrscheinlich etwas direkter als bei mikn. Dafür hilft dir sein Ansatz deutlich mehr, wenn du die Definition von \(n_0(\epsilon)\) noch nicht kennst. Und das passt vielleicht besser zu der Situation in der Klausur. Hier hast du mir ja das (zufällig korrekte) \(n_0>\frac{1}{\epsilon}\) schon vorgegeben. ─ cunni 06.11.2021 um 17:24
Beim anderen Bruch kann man die \(1\) im Nenner weglassen, wodurch der Bruch insgesamt auch größer wird. Bleibt \(\frac{n}{n^2}\) übrig. Einmal kürzen und dann \(n\geq n_0\geq\frac{1}{\epsilon}\Leftrightarrow \frac{1}{n} \leq \epsilon\) verwenden: Fertig.
Das ist wahrscheinlich etwas direkter als bei mikn. Dafür hilft dir sein Ansatz deutlich mehr, wenn du die Definition von \(n_0(\epsilon)\) noch nicht kennst. Und das passt vielleicht besser zu der Situation in der Klausur. Hier hast du mir ja das (zufällig korrekte) \(n_0>\frac{1}{\epsilon}\) schon vorgegeben. ─ cunni 06.11.2021 um 17:24
Zu deiner Umformung in deinem zweiten Bild. Hier sind wieder eine Reihe syntaktischer Fehler:
Bis vor der Stelle, wo du schreibst \(<\epsilon\) ist alles ok. Das habe ich auch so. Aber dann kommt wieder meine Aussage von oben.
Woher weißt du, dass die Summe aus diesen 2 Brüchen kleiner sei als \(\epsilon\)? Du musst deutlich machen, was bekanntes Wissen ist und was gefordertes Wissen. Zum Beispiel mit einem Ausrufungszeichen über dem \(<\)
Die Zeilen danach beginnen jeweils mit einem Gleichheitszeichen. Das ist auch falsch. Diese Gleichheitszeichen müssten Äquivalenzzeichen sein.
Mal ganz davon abgesehen, würde ich ohnehin nicht zu Äquivalenzumformungen wechseln. Du hast \( \frac{n}{1+n^2} - \frac{2}{1+n^2} \) und von dort aus kann man mit den Umformungen aus meinem letzten Kommentar einfach bis \(\epsilon \) weiter machen. ─ cunni 06.11.2021 um 17:32
Bis vor der Stelle, wo du schreibst \(<\epsilon\) ist alles ok. Das habe ich auch so. Aber dann kommt wieder meine Aussage von oben.
Woher weißt du, dass die Summe aus diesen 2 Brüchen kleiner sei als \(\epsilon\)? Du musst deutlich machen, was bekanntes Wissen ist und was gefordertes Wissen. Zum Beispiel mit einem Ausrufungszeichen über dem \(<\)
Die Zeilen danach beginnen jeweils mit einem Gleichheitszeichen. Das ist auch falsch. Diese Gleichheitszeichen müssten Äquivalenzzeichen sein.
Mal ganz davon abgesehen, würde ich ohnehin nicht zu Äquivalenzumformungen wechseln. Du hast \( \frac{n}{1+n^2} - \frac{2}{1+n^2} \) und von dort aus kann man mit den Umformungen aus meinem letzten Kommentar einfach bis \(\epsilon \) weiter machen. ─ cunni 06.11.2021 um 17:32
ok super danke! ich glaube ich habe es verstanden. aber das mit 1/epsilon war Zufall. deswegen noch eine Rückfrage. wenn ich das nicht wüsste hätte ich ja die Gleichung wie oben im bild. aber da habe ich leider keine Ahnung wie ich das weiter umformen könnte.
─
anonymf76f7
06.11.2021 um 17:33
ok und warum ist 1/n<= epsilon und nicht echt kleiner gleich?
─
anonymf76f7
06.11.2021 um 17:38
Eigentlich fast genau so. Nach \(|a_n-a| \leq \frac{|2-n|}{1+n^2} - 0 \leq \ldots \text{alles exakt genau so wie oben }\ldots\leq \frac{1}{n} \)
forderst du das bezüglich \(\epsilon \) mit einem Ausführungszeigen und stellst nach \(\epsilon \) um
\[ \begin{align*} \frac{1}{n} &\overset{!}{<} \epsilon \\
\overset{\cdot n}{\Leftrightarrow} 1 &\overset{!}{<} n\epsilon\\
\overset{ : \epsilon }{\Leftrightarrow} \frac{1}{\epsilon} &\overset{!}{<} n\\
\end{align*} \] ─ cunni 06.11.2021 um 17:50
forderst du das bezüglich \(\epsilon \) mit einem Ausführungszeigen und stellst nach \(\epsilon \) um
\[ \begin{align*} \frac{1}{n} &\overset{!}{<} \epsilon \\
\overset{\cdot n}{\Leftrightarrow} 1 &\overset{!}{<} n\epsilon\\
\overset{ : \epsilon }{\Leftrightarrow} \frac{1}{\epsilon} &\overset{!}{<} n\\
\end{align*} \] ─ cunni 06.11.2021 um 17:50
Ich habe jetzt nicht so derauf geachtet, ob ich \(<\) oder \(\leq\) verwende. Sry.
─
cunni
06.11.2021 um 17:50
ich habe jetzt noch ein neues bild hochgeladen.. ist es jetzt besser?🤯
─
anonymf76f7
06.11.2021 um 17:50
achso ok supi das hat mich noch etwas verwirrt gehabt. aber DANKE!!!!!
─
anonymf76f7
06.11.2021 um 17:51
Das mit deinen Äquivalenzumformungen ist in deinem dritten Bild immer noch nicht richtig. Die Idee ist korrekt aber syntaktisch ist das falsch.
Den Test verstehe ich auch nicht ganz. Wo ist das \(n\) im Nenner hin? Außerdem würde ich dieses \(\frac{1}{\infty}\) weglassen. Auch wenn jeder weiß das gemeint ist, ist das irgendwie ungenau.
Außerdem verstehe ich den Test insgesamt auch nicht. Dieser "Test" ist doch vielmehr eine konkrete Berechnung aber eben ohne \(\epsilon\)-Kriterium. Das ist einfach ein anderer Weg die Berechnung zu machen. ─ cunni 06.11.2021 um 18:00
Den Test verstehe ich auch nicht ganz. Wo ist das \(n\) im Nenner hin? Außerdem würde ich dieses \(\frac{1}{\infty}\) weglassen. Auch wenn jeder weiß das gemeint ist, ist das irgendwie ungenau.
Außerdem verstehe ich den Test insgesamt auch nicht. Dieser "Test" ist doch vielmehr eine konkrete Berechnung aber eben ohne \(\epsilon\)-Kriterium. Das ist einfach ein anderer Weg die Berechnung zu machen. ─ cunni 06.11.2021 um 18:00
achso ja aber der test ist doch die hinreichende Bedingung. also ich muss doch erstmal zeigen, dass es konvergent ist und dann den Limes berechnen. also so war das in der Vorlesung, wenn ich das richtig verstanden habe
─
anonymf76f7
06.11.2021 um 18:05
Sowohl der Limes als auch das \(\epsilon\)-Kriterium sind hinreichend und notwendige Bedingungen. Du hast bei beiden diese kleinen Fehler gemacht aber ansonsten reicht eins von beiden für den Beweis.
─
cunni
06.11.2021 um 18:15
Achso ok Dankeschön!!!
─
anonymf76f7
06.11.2021 um 18:20
kann ich das denn nach n0 umformen? ─ anonymf76f7 06.11.2021 um 16:03