Das sind einfach zwei geschachtelte Integrale, von denen man sich nicht erschrecken lassen darf:

\( \int\limits_{-2}^{-1}\int\limits_1^2 (x+2y)^3 dx\, dy = \int\limits_{-2}^{-1} f(x,y) \,dy \) mit \(f(x,y) = \int\limits_1^2 (x+2y)^3 dx\).

Also: zuerst \(f(x,y)\) berechnen (integrieren nach x, dabei y als Konstante behandeln), dann das berechnete \(f(x,y)\) in das y-Integral einsetzen und ausrechnen (dabei nach y integrieren und x als Konstante behandeln).

Ne richtige Substitution (eine, die den Namen verdient) ist dabei nicht nötig, auch kein Ausmultiplizieren der Klammer. Stammfunktion von x^3 ist ja bekannt, und diese hier ist nur wenig anders.

Da ich mir nicht ganz sicher bin, sage ich im vorhinein mein ansatz ist ohne gewähleistung, ob es tatsächlich so richtig ist.

Bei dem Doppelintegral kannst du dir eigentlich noch zwei klammern dazudenken, und erst das "innere Integral" berechnen und darauf aufbauend dann das äußere

das dxdy hilft dir an der stelle ebenfalls, da das innere Integral nach x, und das äußere nach y geht - das ist wichtig beim Bilden der Stammfunktionen

Nun zum Vorgehen direkt:

Zunächst würde ich dir empfehlen die funktion f(x) einmal auszumultiplizieren, bzw. die binomische formel mit dem Exponenten auszurechnen, das vereinfacht das Bilden der Stammfunktion.

Wenn du diese hast, rechnest du das innere Integral aus, da die innere nach dx geht, setzt du die grenzwerte des Integrals für x ein - Ergo bleiben Terme mit y übrig.

Anschließend hast du nurnoch ein "einfaches" Integral mit einer (wahrscheinlich etwas längeren) Funktion. 
Hier musst du anschließend erneut eine Stammfunktion bilden, aber diesmal nach y (wegen des dy)

Hier dann die Grenzen des äußeren Integrals einsetzen und ebenfalls ausrechnen.

Wie gesagt, sicher bin ich mir nicht, aber eigentlich sollte es so funktionieren^^