Ich schätze wie @gardylulz das bereits vorgeschlagen hat, dass hier kein Weg am Newton Verfahren vorbei führt.

Dafür betrachtest du die Funktion \( f(t) = 100e^{-t} - 10t - 50 \). Von dieser Funktion gilt es nun die Nullstellen zu bestimmen.

Das Newton Verfahren ist ein iteratives Verfahren, d.h. beginnend mit einem Startwert \( t_0 \) berechnet man weitere Lösungen \( t_1, t_2, ... \) bis man nah genug an der Nullstelle ist.

Die entsprechende Formel dafür lautet:

\( t_{k+1} = t_k - \frac{f(t_k)}{f'(t_k)} \)

Du benötigst also den Funktionswert und die Ableitung an der Stelle \( t_k \) und kannst dir damit deine nächste Lösung berechnen.

Deine Ableitung der Funktion lautet \( f'(t) = -100e^{-t} - 10 \)

Nun kannst du z.B. mit einem Startwert \( t_0 = 1 \) anfangen.

Es geht auch anders: Fxpunktiteration !!! Teilt man die obige Gleichug durch 100 und bildet die Kehrwerte, so erhält man nach Logarithmieren

t = \ln(10/(t+5)) . Jetzt iterieren gemäß t_i+1 = \ln (10/(t_i+5)) und z.B. t_0 = 0.5.

das ist etwas langsamer als Newton aber kreativer und einfacher durchzuführen.