Folge mit vollständiger Induktion lösen

Aufrufe: 543     Aktiv: 11.09.2020 um 11:02
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Hallo!
Im Frühjahr kam diese Aufgabe bei uns in der Mathe-Klausur dran. Ich hab sie eben versucht nochmal in Ruhe zu lösen, doch leider bin ich nicht weit gekommen.

Kann jemand helfen und erklären wies geht?

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Student, Punkte: 30

 
Wo scheitert es denn a), b) oder c)?
Fragen an dich: Was kann man aus a) und b) folgern für c) wenn man die gelöst hat?   ─   kallemann 10.09.2020 um 20:45
@kallemann, zu deiner Frage an mich:

wenn ich bei a) zeigen kann, dass a_n nach oben durch 5 beschränkt ist und bei b) a_n ein MonotonieVH bei der Folge zeigen kann, kann ich damit auch c) beantworten da, beschränkte Folge mit MonotonieVH = konvergent.

Nun scheitere ich schon an a)
ich habe a_1 gegeben und a_n+1 und das n>=1 ist. Aber ich komm grad nicht einmal drauf wie ich auf a_n kommen soll. Ich hatte eben die Idee und das werde ich auch probieren: a_1 = a_n+1 zu setzen und dann nach a_n versuchen aufzulösen?
  ─   revan 11.09.2020 um 09:53
Zu c) genau richtig, daraus würde die Konvergenz folgen.
Zu a) Nein in der Aufgabe steht ja mittels VI, also IA, IV, IS: Induktion lautet: a_n < 5
IA: n = 1: a_1 = 1/4 < 5 => IA gilt!
IV: a_n < 5 gilt
IS: n -> n+1: .... IV nutzen
Zu b) auch mittels Induktion, also Induktion lautet: a_n < a_n+1 (da a_n mon. steigend)
IA: n = 1: a_1 < a_2 <=> 1/4 < sqrt(2 + 1/4) <=> 1/4 < 3/2 => IA stimmt!
IV: a_n < a_n+1 gilt
IS: n -> n+1: a_n+1 < a_n+2... wieder IV nutzen   ─   kallemann 11.09.2020 um 10:19
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Nochmal etwas genauer, ohne zuviel Arbeit abzunehmen.

Vorweg: äquivalente Umformungen führen bei vollst. Ind. oft nicht zum Ziel.

zu a): IS: \(a_{n+1} = \sqrt{a_n+2}\) und nun die IV und die Monotonie der Wurzelfunktion benutzen (nachschauen, was das bedeutet!)

zu b). IS: \(a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}+2}\) und nun die IV und die Monotonie der Wurzelfunktion benutzen (nachschauen, was das bedeutet!)

Nebenbei. Wenn voll. Ind. in der Klausur drankommt, wirst Du kaum eine einfachere Aufgabe als diese hier bekommen. Übe das Vorgehen gut ein. Bei Rekursionsformeln ist es genau das hier.

 

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