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Die Brüche werden nicht "aufgeleitet". Du integriert aber nicht über \(f_{X,Y}(x,y)\), sondern über \(xf_{X,Y}(x,y)\) bzw. \(yf_{X,Y}(x,y)\)! Das heißt, das \(x\) und \(y\) kommt jeweils durch die Definition des Erwartungswertes.
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cauchy
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Hä? Macht aber doch keinen Sinn, wieso kommt das x bzw. das y in den Bruch?
Dies Antwort verstehe ich leider nicht. Wieso kommt das x und das y durch die Definition des Erwartungswertes? Dieser Schritt ist ja im Grunde genau jener welchen ich nicht verstehe.
Daher verstehe ich auch nicht wie ich weiter integrieren kann. Integriere ich den Bruch mit der hinzugekommenen Variable nun erneut? Also das aus x eben x^2 und aus y eben y^2 werden? Oder nur einen Teil des Integrals?
Ich versteh leider diesen Schritt überhaupt nicht.
─ benitodilorenzo 12.02.2021 um 13:25
Dies Antwort verstehe ich leider nicht. Wieso kommt das x und das y durch die Definition des Erwartungswertes? Dieser Schritt ist ja im Grunde genau jener welchen ich nicht verstehe.
Daher verstehe ich auch nicht wie ich weiter integrieren kann. Integriere ich den Bruch mit der hinzugekommenen Variable nun erneut? Also das aus x eben x^2 und aus y eben y^2 werden? Oder nur einen Teil des Integrals?
Ich versteh leider diesen Schritt überhaupt nicht.
─ benitodilorenzo 12.02.2021 um 13:25
Und woher kommt diese Defintion, wie ist deren Herleitung? In meinem Skript steht davon nämlich leider nichts? Daher auch meine Verwunderung.
Und würde ich jetzt die Funktion \( \frac{4}{3}x^2 + \frac{2}{3}xy \) bzw eine der anderen Varianten/Schreibweisen JETZT noch aufleiten, daher (im Falle von Xfxy und für den jeweiligen Erwartungswert) nach dy integrieren? ─ benitodilorenzo 13.02.2021 um 08:01
Und würde ich jetzt die Funktion \( \frac{4}{3}x^2 + \frac{2}{3}xy \) bzw eine der anderen Varianten/Schreibweisen JETZT noch aufleiten, daher (im Falle von Xfxy und für den jeweiligen Erwartungswert) nach dy integrieren? ─ benitodilorenzo 13.02.2021 um 08:01
Okay, was heißt dies jetzt für die Praxis? WO füge ich die jeweilige Variable ein? Also wenn ich die Funktion integriere? Oder mit anderen Worten: Wenn ich anhand der Randverteilung (hier entweder von X die Randverteilung nach y oder eben umgekehrt von Y die Randverteilung (Integral) aller x) den jeweiligen Erwartungswert finden möchte, WO füge ich dann die Variable ein, WENN diese Variable eben NICHT durch den Integrationsprozess eingefügt wird (hier eben in den Zähler) sondern per Definition??? Was ist das Schema/Muster?
─
benitodilorenzo
13.02.2021 um 10:03
Danke, ich werds mir anschauen.
─ benitodilorenzo 13.02.2021 um 14:31
─ benitodilorenzo 13.02.2021 um 14:31
Okay ich glaube ich habe es gecheckt. Die Variable kommt also durch die Multiplikation hinsichtlich der Definition \( E[X] = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx \) bzw. dann \( E[g(x)] = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f_{X}(x)dx \) . Daher kommt die Variable. Bei der Summe wäre es irgendwie insofern intuitiver, da ich hier ja mit \( x_i \) arbeite und die Multiplikatiation leichter zu sehen ist,
Danke! ─ benitodilorenzo 13.02.2021 um 17:35
Danke! ─ benitodilorenzo 13.02.2021 um 17:35
Liebe Leute ich habe noch eine Folgefrage zu diesem Thema: Sollte ich lieber eine neue Frage stellen oder diese hier anfügen was meint ihr?
─ benitodilorenzo 13.02.2021 um 20:20
─ benitodilorenzo 13.02.2021 um 20:20
Ich denke dazu passend: Also ich habe jetzt eine Verteilungsfunktion \( \frac{2x}{15} \) und den gesuchten Erwartungswert \( E[5X -4] \)
Ich weiß nun, ich kann wegen der Linearität des Erwartungswertes die 5 als Faktor rausziehen und die Konstante ebenso einfach später dazuaddieren so das sich ergibt \( E[5X-4]= 5*E[X]-4 \)
Wenn ich nun aber nach der Definition gehe \( E[g(x)] = \int_{-\infty}^\infty g(x)f_X(x)dx \) wie würde ich dann den Zähler schreiben in obigem Fall?
\( E[5x-4] = \int_{-\infty}^\infty (5x-4)f_X(x)dx \text{ führt zu } (5x-4)*(2x) = 10x^2 -8x \) ??
Wie würde dann die Funktion aussehen welche ich integrieren kann? (Hier in den grenzen 1 bis 4)
Wolfram Alpha gibt mir das richtige Ergebnis aus, sofern ich den Term \(10x^2-8x \) nochmal durch 5 dividiere. Zumindest das Ergebnis welches ich auch bekomme wenn ich die Linearität nutze und \( E[5X-4]= 5*E[X]-4 \) berechne. In diesem Fall = 10 bei Eingabe in Wolfram Alpha von :
Expectation[((10x^2-8x)/(5)), x \[Distributed] UniformDistribution[{1,4}]]
Fünf war auf der Teiler durch welchen ich bei der Originalfunktion \( \frac{2x}{15} \) dividieren musste NACH der Integration. Denn der Erwartungswert E[X] von \( \frac{2x}{15} \) OHNE weitere innere Funktion g(x) ist im Ergebniss \( \frac{14}{5} \)
Wie sieht hier das mögliche Vorgehen Schritt für Schritt aus?
Vielen Dank! ─ benitodilorenzo 13.02.2021 um 20:34
Ich weiß nun, ich kann wegen der Linearität des Erwartungswertes die 5 als Faktor rausziehen und die Konstante ebenso einfach später dazuaddieren so das sich ergibt \( E[5X-4]= 5*E[X]-4 \)
Wenn ich nun aber nach der Definition gehe \( E[g(x)] = \int_{-\infty}^\infty g(x)f_X(x)dx \) wie würde ich dann den Zähler schreiben in obigem Fall?
\( E[5x-4] = \int_{-\infty}^\infty (5x-4)f_X(x)dx \text{ führt zu } (5x-4)*(2x) = 10x^2 -8x \) ??
Wie würde dann die Funktion aussehen welche ich integrieren kann? (Hier in den grenzen 1 bis 4)
Wolfram Alpha gibt mir das richtige Ergebnis aus, sofern ich den Term \(10x^2-8x \) nochmal durch 5 dividiere. Zumindest das Ergebnis welches ich auch bekomme wenn ich die Linearität nutze und \( E[5X-4]= 5*E[X]-4 \) berechne. In diesem Fall = 10 bei Eingabe in Wolfram Alpha von :
Expectation[((10x^2-8x)/(5)), x \[Distributed] UniformDistribution[{1,4}]]
Fünf war auf der Teiler durch welchen ich bei der Originalfunktion \( \frac{2x}{15} \) dividieren musste NACH der Integration. Denn der Erwartungswert E[X] von \( \frac{2x}{15} \) OHNE weitere innere Funktion g(x) ist im Ergebniss \( \frac{14}{5} \)
Wie sieht hier das mögliche Vorgehen Schritt für Schritt aus?
Vielen Dank! ─ benitodilorenzo 13.02.2021 um 20:34
Plus, wenn ich \( \frac{10x^2-8x}{15} \) in den Grenzen von 1 bis 4 integriere, dann kommt auch wieder 10 heraus.
Wenn ich dies aber als Zufallsvariable für den Erwartungswert einfüge, dann erscheint 10/3
Stimmt natürlich eine DICHTEfunktion, danke.
EDIT: Naja gut, wenn ich es per Hand ausrechne, stimmt es und es kommt 10 heraus, scheint also eine falsche Art der Eingabe für Wolfram Alpha zu sein.
Danke! ─ benitodilorenzo 13.02.2021 um 20:52
Wenn ich dies aber als Zufallsvariable für den Erwartungswert einfüge, dann erscheint 10/3
Stimmt natürlich eine DICHTEfunktion, danke.
EDIT: Naja gut, wenn ich es per Hand ausrechne, stimmt es und es kommt 10 heraus, scheint also eine falsche Art der Eingabe für Wolfram Alpha zu sein.
Danke! ─ benitodilorenzo 13.02.2021 um 20:52
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Cauchy wurde bereits informiert.