Hey,
auch wenn es jetzt etwas später kommt, hoffe ich, dass ich dir ein paar Ansätze und Ideen geben kann:
(21) Eine Koordinatengleichung oder Koordinatenform einer Ebene kann durch folgende Gleichung beschrieben werden: \( ax + by + cz = d \). Dabei bilden die Werte a, b und c einen Normalenvektor \( n = (a,b,c) \) der Ebene. Die Koordinatengleichung kann durch ausmultiplizieren der Normalengleichung einer Ebene hergeleitet werden. Der Wert für d kann dabei aus dem Skalarprodukt vom Normalenvektor und dem Stützvektor der Ebene berechnet werden. Zur Ebene gehören alle Punkte der Form \( (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \), die die Gleichung \( ax + by + cz = d \) mit gegebenen Werten für a,b,c und d erfüllen. Deshalb auch Koordinatenform, weil du die Koordinaten der Punkte in die Ebenengleichung einsetzt.
So das war der theoretische Teil, nun noch ein paar Bemerkungen zu deinen praktischen Aufgaben: Du sollst also Ebenen der Form \( ax_1 + bx_2 + cx_3 = d \) bestimmen, d.h. es gilt die Werte von a, b, c und d zu berechnen anhand der gegebenen Informationen.
(a) Die Ebene verläuft parallel zur x1-x2-Ebene, folglich müssen die Normalenvektoren der gesuchten Ebene und der x1-x2-Ebene linear abhängig sein. Ein Normalenvektor der x1-x2-Ebene lautet z.B. \( (0,0,1) \), somit ist dieser Vektor auch ein Normalenvektor unserer gesuchten Ebene. Damit wissen wir a = 0, b = 0 und c = 1. Zur Bestimmung von d nutzen wir die 2. Information, dass die Ebene den Abstand 2 haben soll. Dadurch haben alle Punkte der Ebene die Form \( (x_1,x_2,2) \), mit beliebigen Werten x1 und x2 und die x3 Koordinate hat den Wert 2 (folgt aus Parallelität und dem Abstand). Wenn du diesen Punkt nun in deine allgemeine Ebenengleichung einsetzt bekommst du \( 0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 1 \cdot 2 = d \) und damit erhältst du deinen Wert für d, nämlich \( d = 2 \). Somit lautet die Ebenengleichung in Koordinatenform \( x_3 = 2 \)
Bem.: Man hätte hier auch direkt über Parallelität und Abstand folgern können, dass d = 2 sein muss, ich wollte dir nur das allgemeinere Vorgehen beschreiben.
Für die anderen Ebenen in den Aufgabenteilen (b), (c) und (d) gehst du nun ähnlich vor. Du versuchst über die gegebenen Angaben einen Normalenvektor zu bestimmen, da dieser dir die Werte für a,b und c gibt. Anschließend überlegst du dir, welche Punkte in der Ebene liegen und setzt diese in deine Ebenengleichung ein, um damit das d zu berechnen.
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