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Wenn EIN Eigenvektor \(v\in \mathbb{R}^n\) (als Spaltenvektor) und ein Eigenwert und \(\lambda\in \mathbb{R}\) gegeben ist, dann kann man z.B. die Matrix \(\displaystyle \frac{\lambda}{\|v\|^2} v v^t\) nehmen.
Wenn n linear unabhängige Eigenvektoren \(v_1, \ldots ,v_n \in \mathbb{R}^n\) (als Spaltenvektoren) und die zugehörigen Eigenwerte \(\lambda_1,\ldots\lambda_n \in \mathbb{R}\) gegeben sind, dann kann man die Matrix \(V\,\mbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \,V^{-1}\) nehmen, wobei \(V=(v_1, \ldots,v_n)\).
Wenn n linear unabhängige Eigenvektoren \(v_1, \ldots ,v_n \in \mathbb{R}^n\) (als Spaltenvektoren) und die zugehörigen Eigenwerte \(\lambda_1,\ldots\lambda_n \in \mathbb{R}\) gegeben sind, dann kann man die Matrix \(V\,\mbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \,V^{-1}\) nehmen, wobei \(V=(v_1, \ldots,v_n)\).
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m.simon.539
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Tut mir leid, die Matrixzeichen verwirren mich grade. Welche Matrizen sind gemeint? vv^t = transformationsmatrix und V diag = Diagonalmatrix von Irgendwas? Vielleicht nochmal mit mehr Worten erklären bitte :)
─
steffen
13.01.2024 um 23:33
Das hochgestellte "t" bedeutet "transponiert".
Also, wenn z.B. \(v = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)\), dann ist \(v^t = (1,2)\) und \( vv^t = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) (1,2) = \left(\begin{array}{cc} 1\cdot 1 & 1\cdot 2 \\ 2\cdot 1 & 2\cdot 2 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right) \)
Wenn z.B. \(\lambda_1=1, \lambda_2=3\), dann ist \(\mbox{diag}(\lambda_1, \lambda_2)\) die Diagonalmatrix \( \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \right)\). ─ m.simon.539 14.01.2024 um 13:07
Also, wenn z.B. \(v = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)\), dann ist \(v^t = (1,2)\) und \( vv^t = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) (1,2) = \left(\begin{array}{cc} 1\cdot 1 & 1\cdot 2 \\ 2\cdot 1 & 2\cdot 2 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right) \)
Wenn z.B. \(\lambda_1=1, \lambda_2=3\), dann ist \(\mbox{diag}(\lambda_1, \lambda_2)\) die Diagonalmatrix \( \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \right)\). ─ m.simon.539 14.01.2024 um 13:07
Das hilft schonmal etwas :) Also nehmen wir mal Eigenvektor v = (1 2) und Eigenwert = 3. Was mache ich dann damit?
Ach ja, und wie mache ich die Formelzeichen hier?^^ ─ steffen 14.01.2024 um 16:01
Ach ja, und wie mache ich die Formelzeichen hier?^^ ─ steffen 14.01.2024 um 16:01
Die Matrix lautet dann nach meiner Formel \(\displaystyle A= \frac{3}{\|v\|^2} v v^t\)
Es ist \(\|v\|^2 = 1^2+2^2=5\).
Es ist \(v v^t = \left(\begin{array}{c}1& 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)\).
Also ist \(\displaystyle A = \frac{3}{5} \left(\begin{array}{c}1& 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)
= \left( \begin{array}{c}\frac{3}{5}& \frac{6}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{12}{5}\end{array}\right).
\)
Für die Formelzeichen kannst Du LaTeX verwenden. Sie Link "Wie gebe ich Formeln ein". Ist ein bisschen krypthisch und mühselig, aber die Formel sehen dann super aus. ─ m.simon.539 14.01.2024 um 16:31
Es ist \(\|v\|^2 = 1^2+2^2=5\).
Es ist \(v v^t = \left(\begin{array}{c}1& 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)\).
Also ist \(\displaystyle A = \frac{3}{5} \left(\begin{array}{c}1& 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)
= \left( \begin{array}{c}\frac{3}{5}& \frac{6}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{12}{5}\end{array}\right).
\)
Für die Formelzeichen kannst Du LaTeX verwenden. Sie Link "Wie gebe ich Formeln ein". Ist ein bisschen krypthisch und mühselig, aber die Formel sehen dann super aus. ─ m.simon.539 14.01.2024 um 16:31
Super verständlich, danke :) Die selbe Methode funktioniert auch mit dreidimensionalen Eigenvektoren z.B. (1 2 4) ?
─
steffen
14.01.2024 um 21:02
Könntest du die Methode für n lin. unabhängige Eigenvektoren genauso verständlich demonstrieren?
─
steffen
14.01.2024 um 21:04
Ja, die Methode funktioniert auch in 3 Dimensionen.
Hier ein Beispiel in 2 Dimensionen mit 2 Eigenwerten und -vektoren:
Wenn ich die Eigenvektoren \(v_1=\left( \begin{array}{c} 1\\0\end{array}\right) \) und \(v_2=\left( \begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right) \) gegeben habe mit Eigenwerten \(\lambda_1=1\) bzw. \(\lambda_2=3\), dann gilt:
\(V = (v_1, v_2) = \left( \begin{array}{cc} 1& 1\\0 & 1\end{array}\right)\).
Mit den Gauß-Algorithmus berechnet man
\(V^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1& -1\\0 & 1\end{array}\right)\).
Dann lautet die gesuchte Matrix
\( A \;=\; V \,\mbox{diag}(1,3) \,V^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1& 1\\0 & 1\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} 1& 0\\0 & 3\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} 1& -1\\0 & 1\end{array}\right)\;=\; \left( \begin{array}{cc} 1& 2\\0 & 3\end{array}\right)\).
─ m.simon.539 14.01.2024 um 21:59
Hier ein Beispiel in 2 Dimensionen mit 2 Eigenwerten und -vektoren:
Wenn ich die Eigenvektoren \(v_1=\left( \begin{array}{c} 1\\0\end{array}\right) \) und \(v_2=\left( \begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right) \) gegeben habe mit Eigenwerten \(\lambda_1=1\) bzw. \(\lambda_2=3\), dann gilt:
\(V = (v_1, v_2) = \left( \begin{array}{cc} 1& 1\\0 & 1\end{array}\right)\).
Mit den Gauß-Algorithmus berechnet man
\(V^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1& -1\\0 & 1\end{array}\right)\).
Dann lautet die gesuchte Matrix
\( A \;=\; V \,\mbox{diag}(1,3) \,V^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1& 1\\0 & 1\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} 1& 0\\0 & 3\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} 1& -1\\0 & 1\end{array}\right)\;=\; \left( \begin{array}{cc} 1& 2\\0 & 3\end{array}\right)\).
─ m.simon.539 14.01.2024 um 21:59
Danke. Was genau ist die mittlere Matrix (1 0 0 3)? Eigenwerte einfach in die Diagonalmatrix eingesetzt?
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steffen
16.01.2024 um 11:38
Ja, die mittere Matrix ist die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten..
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m.simon.539
17.01.2024 um 00:18
