Hallo, ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe hier:
Sei $f: V \rightarrow V, f=id$ ein Endomorphismus. Wie lautet dann das Minimalpolynom?
Wir haben das Minimalpolynom definiert als das eindeutig bestimmte, normierte Polynom $P_g \in Ker(\phi_g)$ mit $f=k \cdot P_g \quad \forall f \in Ker(\phi_g)$ und $k \in K[t]$.
Meine Idee:
Die Identität hat eine einzige Nullstelle, nämlich bei 0. Es gilt: $id(0)=0 \Rightarrow 0 \in Ker(id)$. Deshalb hätte ich gesagt, dass mein Minimalpolynom dem Nullpolynom gleicht.
Allerdings kann ich diesen Sachverhalt auch durch das Polynom $x+0$ beschreiben. Denn $id(x)=0 \iff x=0$.
Jetzt ergibt es auch meiner Sicht keinen Sinn, dass ich oben theoretisch 2 Lösungen habe, obwohl das Minimalpolynom nach Definition eindeutig bestimmt ist. Kann mir da jemand weiterhelfen, meinen Denkfehler zu finden?
Viele Videos auf YouTube beziehen sich beim Berechnen des Minimalpolynoms auf Matrizen. Kann ich $f=id$ auch analog als Einheitsmatrix $E_n$ schreiben?
Den Beweis von oben würde ich wie folgt führen:
$\chi_f=\det(t \cdot E_n-E_n)=\det(\begin{pmatrix} t-1 & 0 &0 \\ 0 & ... &0\\ 0 & 0 & t-1 \end{pmatrix})=(t-1)^n$. Also ist das Minimalpolynom $P_f=t-1$ ─ annapi 10.12.2022 um 09:49