Eine Möglichkeit der Lösung wäre quasi by inspection ,soll heißen du guckst dir einfach an, wie das ganze irgendwie hinhauen könnte und bastelst ein bisschen rum (mithilfe der angegebenen Formeln).

Rechnerisch kann ich dir folgenden Hilfestellung liefern:

Nehme als Ansatz für \(y(x)\) eine Fourierreihe mit Periode \(2\pi\), also \(y(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx \).
Bilde dann die Summe \(y(x) + 2y(x-\pi)\) und forme das ganze unter zuhilfenahme der angegebenen Formeln für \(\cos(n(x-\pi))\) und \(\sin(n(x-\pi))\) um.
Schließlich musst du lediglich einen Koeffizienvergleich mit der rechten Seite der Gleichung durchführen, damit erhältst du alle \(a_k,b_k \ne 0\) und kannst so deine Funktion \(y(x) \)aufstellen.