Zu zeigen ist \(|\sqrt[^n]{c} - 1| < \epsilon\) mit \(\epsilon > 0\).

Der Fall \(c = 1\) ist trivial, betrachten wir nun den Fall \(c > 1\):

Die Ungleichung lässt sich aufgrund des wegfallenden Betrages wiefolgt umformen: \(c < (1+\epsilon)^n\).Da die linke Seite konstant ist, und \(\lim_{n\to\infty} (1+\epsilon)^n = \infty\) ist die Ungleichung für genügend große \(n\), insbesondere auch für \(n\to\infty\) erfüllt.

Nun der Fall \(c<1\):

Wir erhalten nun nac auflösen des Betrages die Ungleichung \(c > (1-\epsilon)^n\). Da hier die linke Seite ein pos. Konstante ist, und \(\lim_{n\to\infty} (1-\epsilon)^n = 0\) ist die Ungleichung wiederum für genügend große \(n\), inbesondere für \(n\to\infty\) erfüllt.