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Wenn \( f \) nicht stetig ist, lässt sich im Allgemeinen nichts über die Urbilder von Borelmengen sagen.
Betrachte beispielsweise für eine Menge \( A \) die Indikatorfunktion
\( \mathbb{I}_A(x) = \begin{cases} 1, & x \in A \\ 0, & x \notin A \end{cases} \)
Wenn \( A \) eine Borelmenge ist, dann ist die Funktion messbar, aber wenn \( A \) keine Borelmenge ist, dann ist sie nicht messbar. Das heißt also: Es gibt unstetige Funktionen, die messbar sind, und es gibt unstetige Funktionen, die nicht messbar sind. Es kommt immer darauf an, welche Funktion man gerade betrachtet.
Betrachte beispielsweise für eine Menge \( A \) die Indikatorfunktion
\( \mathbb{I}_A(x) = \begin{cases} 1, & x \in A \\ 0, & x \notin A \end{cases} \)
Wenn \( A \) eine Borelmenge ist, dann ist die Funktion messbar, aber wenn \( A \) keine Borelmenge ist, dann ist sie nicht messbar. Das heißt also: Es gibt unstetige Funktionen, die messbar sind, und es gibt unstetige Funktionen, die nicht messbar sind. Es kommt immer darauf an, welche Funktion man gerade betrachtet.
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Okey Danke ! Und was wäre, wenn {A⊂R: f^{−1}(A) ∈ B(R) } Also das Urbild eine Borelmenge ist ?
─
bünzli
13.10.2021 um 16:15
Wenn das Urbild einer Menge eine Borelmenge ist, dann muss das im Allgemeinen nichts heißen. Wenn du eine Menge \( A \) nimmst, die keine Borelmenge ist und du nimmst ein \( a \in A \) dann kannst du damit die Funktion
\( f(x) = \begin{cases} x, & x \in A \\ a, & x \notin A \end{cases} \)
definieren. Das Urbild von \( A \) unter \( f \) ist dann \( \mathbb{R} \), also eine Borelmenge, aber \( A \) ist per Definition keine Borelmenge. ─ 42 13.10.2021 um 16:31
\( f(x) = \begin{cases} x, & x \in A \\ a, & x \notin A \end{cases} \)
definieren. Das Urbild von \( A \) unter \( f \) ist dann \( \mathbb{R} \), also eine Borelmenge, aber \( A \) ist per Definition keine Borelmenge. ─ 42 13.10.2021 um 16:31