Geradengleichungen helfen!

Man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass \(B=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right) \)  und \(C=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right) \).
Dann kann man sich die Geradengleichung von a  und b ausrechnen (siehe GeoGebra-Zeichnung):
Steigung von b = \(\tan \beta\), also ist b definiert durch: \(y = \tan(\beta) x\).
Steigung von a = \(-\tan \gamma\), also ist a definiert durch: \( y = -\tan(\gamma) (x-1)\).
Gleichsetzen dieser Geradengleichung liefert: A = Schnittpunkt von a und b = \(\left(\begin{array}{c}x_A\\y_A\end{array}\right) \) mit

\(\displaystyle x_A = \frac{\tan \gamma}{\tan \beta + \tan \gamma},\;\;
y_A = \frac{\tan \beta \tan \gamma}{\tan \beta + \tan \gamma}\).

Die Seitenmitte von b ist dann \(\displaystyle \frac{A+B}2 = \frac{A}{2} = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{c}x_A\\y_A\end{array}\right) \).

Die Mittelsenkrechte von b hat die Steigung \(-1/\tan\beta\), denn wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, ist das Produkt ihrer Steigungen gleich -1.
Also hat die Mittelsenkrechte von b die Geradengleichung:
\(\displaystyle s_b(x) = -\frac{1}{\tan\beta} \left(x-\frac{x_A}2\right) +\frac{y_A}2 \).
Die Gleichung für Mittelsenkrechte von c lautet einfach: \(x=1/2\). Das in \(s_b\) eingesetzt liefert die y-Koordinate des Mittelpunkt u des Umkreises.
\(\displaystyle y_u = -\frac{1}{\tan\beta} \left(\frac{1}2-\frac{x_A}2\right) +\frac{y_A}2 \).
Da der Schwerpunkt des Dreiecks immer \(m=(A+B+C)/3\) ist, ist der y-Koordinate von m immer \(y_m=y_A/3\).
Wenn die Eulergeraden parallel zu BC laufen soll, muss \(y_m=y_u\) sein.
Hieraus ergibt sich, wenn sich der Rauch der Mathematik verzogen hat, die Behauptung \(\tan\beta\tan\gamma=3\).