Ist die folgende Reihe konvergent oder divergent?

Aufrufe: 900     Aktiv: 01.01.2022 um 12:43
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Hallo, ich soll zeigen, dass die folgende Reihe konvergenz bzw. divergent ist:
1+(1/3)^x+(1/5)^x usw.
Ich dacchte zunächst an Fallunterscheidung, also x> und < 0, aber weiter weiß ich nicht, ich weiß nur, dass es sich hier um die allgemeine Harmonische Reihe handelt bzw. um einen Ausschnitt sozusagen.

Kann man hier auch zeigen, was auf die allgemeine harmonische Reihe zutrifft und dann eben begründen, dass dadurch das die beiden Reihen Teilsummen der harmonischen Reihen sind, die gleiche Konvergenz aufweisen?

EDIT vom 26.12.2021 um 22:06:

Hier die Ergänzung

EDIT vom 27.12.2021 um 09:45:

Laufvariablen

EDIT vom 27.12.2021 um 12:48:

Korrektur

EDIT vom 29.12.2021 um 15:32:

Ergänzung

EDIT vom 29.12.2021 um 22:56:

Umformungen

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1 Antwort
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Dein vermutetes Ergebnis ist wohl richtig, aber das muss man schon seriös begründen.
Schreibe dazu die Reihe als Differenz der allg. harm. Reihe (Summenzeichen verwenden!) und dem Ausschnitt derselben Reihe der Summanden für gerade k, dann kleine Umformung, und dann begründen mit der (hoffentlich) bekannten Konvergenzeigenschaft der all. harm. Reihe.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.1K

 
Danke für deine schnelle Antwort zunächst, ich habe mal etwas gemacht, stimmt das so? Oder schreibt man das für gerade und ungerade anders auf?   ─   pleasehelp 26.12.2021 um 21:52
Habs jz, hat wieder nicht funktioniert, sorry;

Ich habe eben auch noch einmal mein Buch durchgearbeitet und einen Satz bezüglich der allgemeinen harmonischen Reihe gefunden, welcher besagt, dass für alpha>1 die Reihe konvergiert und für <=1 divergiert, den kann ich dann ja auf jeden Fall verwenden oder?   ─   pleasehelp 26.12.2021 um 22:08
Beide Laufvariablen müssen bei 0 beginnen oder? Sonst ist die erste, bei geraden die 1 und bei ungeraden die 0 jz in diesem Fall nicht dabei.
Aber muss dann die allgemeine harmonische Reihe auch bei 0 beginnen?
  ─   pleasehelp 26.12.2021 um 22:42
Das habe eh gemacht, die der ungeraden beginnt bei 0 und die der geraden, wenn sie bei 0 beginnen würde, würde zu Beginn noch 0+... stehen, aber ich habe im Skript auch eine Aufgabe, wo die der geraden steht, welche bei 1/2^x beginnt, somit würde ich die der geraden bei 1 beginnen lassen.
Und die allgemeine harmonische Reihe bei 0.   ─   pleasehelp 26.12.2021 um 23:08
Ich habs jz ergänzt und die allgemeine harmonische reihe startet bei 1   ─   pleasehelp 27.12.2021 um 09:46
Habs korregiert, hoffe das hast du gemeint?
Und jz braucht man noch eine aussagekräftige begründung?   ─   pleasehelp 27.12.2021 um 12:49
Mh ich verstehe jz nicht, was für eine Umformung? meinst du jz, dass die ungeraden = stehen oder?   ─   pleasehelp 27.12.2021 um 22:46
Ok, entschuldigung, dass ich mich immer erst nach so langer Zeit melde, ich benötige immer Zeit zum überlegen;

Ich habe jz mal umgeformt und nun steht
Reihe der 1/ungeraden = allgemeine harmonische Reihe - Reihe der 1/geraden.
Nun stehe ich dennoch an, also die Reihe der geraden und ungeraden gemeinsam ergeben ja die allg. harm. Reihe somit müssen die ja konvergieren, wenn diese konvergiert und für die Divergenz das gleiche, aber was ich da jz machen soll, da komm ich dennoch nicht weiter.   ─   pleasehelp 28.12.2021 um 15:39
Ich weiß einfach nicht welche umformungen, mir fällt nur noch die geometrische reihe ein oder das ich die allgemeinische harmonische aufspalte in die der geraden und ungeraden   ─   pleasehelp 28.12.2021 um 22:16
Ok, ich hab oben wieder die ergänzung hinzu, aber hab jz nur die RR angewandt, aber reicht das dann nur links aus oda muss man das auch auf der rechten seite? Bzw jz erkennt man ja das es sich hier um die geometrische reihe handelt   ─   pleasehelp 29.12.2021 um 15:33
Hab ich mir schon gedacht, aber hat der ganze Beweis nichts mit der geometr. Reihe zu tun?   ─   pleasehelp 29.12.2021 um 16:19
Ja eh nichts, ich werd die Kommentare hier nochmal durchgehen und weiter probieren, melde mich dann wieder, danke   ─   pleasehelp 29.12.2021 um 18:26
Ich hab jz meine umformungen ergänzt ich hab mir die kommentare nochmal durchgelesen und jz verschiedenes ausprobiert, muss aber zugebn kann sein das dirse umformungen so schon nicht richtig sind   ─   pleasehelp 29.12.2021 um 22:57
Also muss ich 1/2 herausziehen, ja ich habe später dann noch bemerkt, dass die Umformungen ohnehin falsch waren, aber ich habe das so gemacht, weil ich einfach nicht wusste, was oder wie ich Umformen soll   ─   pleasehelp 30.12.2021 um 18:35
Ich werds nochmal bearbeiten von vorne und wenn ich die korrekte Lösung habe, oben posten auch für die anderen, falls sie jemand braucht, wir werdn es ohnehin an der uni vergleichen, danke dir trotzdem für die mühe trotz meiner falschen Antworten   ─   pleasehelp 30.12.2021 um 23:06
Werde ich machen, danke dir   ─   pleasehelp 01.01.2022 um 12:43

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