Hallo vzqxi,

tatsächlich lässt sich das Integral \(\displaystyle{\int \dfrac{1}{(t^2+1)^k} \text{d}t}\) nicht so ohne weiteres Hinschreiben. Deine Idee mit dem Arcustangens war schon richtig. Dies ist ja auch die übliche Integrationsmethode für diesem Term im Nenner. Das hoch \(k\) macht da allerdings eine recht komplizierte Summe draus, welche zwar endlich ist, also zeigt das dein Integral \(\displaystyle{\int \dfrac{1}{(ax^2+bx+c)^k} \text{d}x}\) existiert, aber der Term ist nicht durch eine oder zwei weitere Substitutionen einfach hinzuschreiben.

Bezeichnet man \(I_k=\displaystyle{\int \dfrac{1}{(t^2+1)^k} \text{d}t}\), dann gilt die folgende Rekursionsformel für \(k\in \mathbb{N}\):

\(I_k=\dfrac{t}{(2k-2)\cdot (t^2+1)^{k-1}} +\dfrac{2k-3}{2k-2} \cdot I_{k-1}\)

Wie du siehst alles andere als ein einfacher Term. Aber wenn du an der Stelle in deinem Beweis diese Rekursionsvorschrift zeigst und ja weist, dass diese mit deinem \(I_1=\displaystyle{\int \dfrac{1}{t^2+1} \text{d}t} =\arctan(t)+c\) endet, dann hast du auch bewiesen, dass dein Anfangsintegral existiert. Wie diese am Ende aussieht ist dann garnicht mehr von belang.

Wie zeigt man diese Rekursionsformel?

Ich kürze das an der Stelle mal etwas mit zwei Links ab :D.

https://www.youtube.com/watch?v=vDiMP7fu1Tk&t=211s

https://www.youtube.com/watch?v=aLAOVhDtCMA

Passe deine Variablen \(t\) und \(k\) einfach an und beachte in diesem Beweis wird die Rekursion für \(I_{k+1}=...\) geführt. Noch ein kleiner Hinweis zur im Video verwendeten Sekansfunktion. Diese kommt durch die Substitution \(\theta=\arctan(x)\) ins Spiel durch

\(x=\tan(\theta)\) mit \(\dfrac{dx}{d\theta} =\tan'(\theta)=\dfrac{1}{\cos^2(\theta)} =\sec^2(\theta) \quad \Leftrightarrow \quad dx=\sec^2(\theta)\text{d}\theta\)

Zusätzlich gilt durch die Substitution \(\sec^2(\theta)=(x^2+1)\) und somit \(\sec^{2k} (\theta) =(x^2+1)^k\). 

Ich hoffe ich konnte dir damit weiterhelfen. :)