Beweis für Existenz dritter Wurzel

Aufrufe: 733     Aktiv: 10.11.2019 um 23:53
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Hallo, kann mir bitte jemand erklären wie man die Existenz der dritten Wurzel beweist? D.h. z.z. für jedes a gibt es ein b 3 = a? Ich gehe davon aus, es hat mit einer Menge zu tun, deren (sup)3 = a. Aber was genau sind die Zwischenschritte, das zu beweisen?

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Hallo, 

falls es dich für die \(n\)-te Wurzel interessiert, kannst du dir ja das Video anschauen! :)

https://youtu.be/kW6HrSos45w (Analysis 067 - Existenz der Wurzel (mit Beweis))

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Hallo,

leider kommt das Video zur Existenz der \(n\)-ten Wurzel erst am Sonntag bei mir. Für die dritte Wurzel kannst du aber noch ausnutzen, dass es da selbst für negative Zahlen eine Wurzel gibt. Ich hab die Menge:

$$M=\{x:x\geq0\wedge x^n\leq a\}$$

benutzt, bei dir wäre es dann \(n=3\) und das Supremum wäre die Lösung für \(a\geq0\). Analog kannst du es für negative Zahlen machen. Du kannst dir dann überlegen, dass das Supremum \(s\) überhaupt existiert und annhemen es wäre \(s^3>a\) und \(s^3<a\) und dann führst du es zum Widerspruch! :)

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Hallo, danke für die Antwort. Ich hab mir das auch schon so überlegt, aber wenn es eine Menge M gäbe wobei es ein x gibt mit x^3 = a, dann kann ich ja gleich daraus schließen dass es die dritte Wurzel gibt. Die Aufgabe ist aber, zu beweisen, dass es die gibt, also denke ich nicht dass man eine Menge nehmen kann, die ein Element x enthält wo x^3 = a.   ─   terabithia 04.11.2019 um 22:33
Ja deswegen nimmst du dir eine Menge wo kleinergleich gilt. In der Menge, die ich aufgeschrieben habe, ist auf jeden Fall die \(0\) enthalten, also ist sie nicht leer. Und mit der Bernoullischen Ungleichung kannst du zeigen, dass die Menge nach oben beschränkt ist, also muss sie ein Supremum haben. Und für dieses Supremum \(s\) musst du die Gleichheit zeigen, indem du die strikten Ungleichungen zum Widerspruch führst! :)   ─   endlich verständlich 05.11.2019 um 15:56

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